https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2023/Bunka

2023.11.22記

[1] $k$ を正の実数とし，2次方程式 $x^2+x-k=0$ の2つの実数解を $\alpha$ ， $\beta$ とする． $k$ が $k\gt 2$ の範囲を動くとき， $\dfrac{\alpha^3}{1-\beta}+\dfrac{\beta^3}{1-\alpha}$ の最小値を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
$\alpha$ ， $\beta$ は
$(x-1)(x+2)=k-2$ ， $x^2=k-x$ ， $x^3=(k+1)x-k$
をみたすので，
$\dfrac{\alpha^3}{1-\beta}+\dfrac{\beta^3}{1-\alpha}$
$=-\dfrac{\alpha^3(\beta+2)+\beta^3(\alpha+2)}{k-2}$
$=-\dfrac{2(\alpha^3+\beta^3)-k(\alpha^2+\beta^2)}{k-2}$
$=-\dfrac{2(k+1)(\alpha+\beta)-4k-k(2k-\alpha-\beta)}{k-2}$
$=-\dfrac{-2(k+1)-4k-k(2k+1)}{k-2}$
$=\dfrac{2k^2+7k+2}{k-2}$
$=2(k-2)+\dfrac{24}{k-2}+15$
となるので，この値の $k\gt 2$ における最小値は AM-GM 不等式により
$2(k-2)+\dfrac{24}{k-2}+15\geqq 8\sqrt{3}+15$
（等号成立は $(k-2)^2=12$ から $k=2+2\sqrt{3}$ ）
となる．