2022年(令和4年)東京大学-数学(理科)

(1) は区間 において最小値を持つことを示せ。

(2) の区間 において最小値を求めよ。

[2] 数列 を次のように定める。
，（）

(1) 正の整数 が3の倍数のとき， は 5 の倍数となることを示せ。

(2) を正の整数とする。 が の倍数となるための必要十分条件を を用いて表せ。

(3) と の最大公約数を求めよ。

[3] を原点とする座標平面上で考える。 座標平面上の2 点 ， に対し，点が点から十分離れているとは，
または
が成り立つことと定義する。

不等式 ， が表す正方形の領域を とし，その2つの頂点 ， を考える。 さらに，次の条件(i)，(ii)をともに満たす点　 をとる。

(i) 点 は領域 の点であり，かつ，放物線 上にある。

(ii) 点 は， 3点 のいずれからも十分離れている。

点の 座標を とする。

(1) のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) 次の条件(iii),(iv)をともに満たす点 が存在しうる範囲の面積 を求めよ。

(iii) 点は領域の点である。

(iv) 点は， 4点のいずれからも十分離れている。

(3) は (1) で求めた範囲を動くとする。(2) の を最小にする の値を求めよ。

[4] 座標平面上の曲線
を考える。

(1) 座標平面上のすべての点 が次の条件(i)を満たすことを示せ。

(i) 点 を通る直線 で， 曲線 と相異なる3点で交わるものが存在する。

(2) 次の条件(ii)を満たす点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

(ii) 点 を通る直線 で， 曲線 と相異なる3点で交わり， かつ， 直線 と曲線 で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。

[5] 座標空間内の点 と点 を結ぶ線分 を 軸のまわりに1回転させて得られる曲面を とする。 上の点 と 平面上の点 が を満たしながら動くとき，線分 の中点 が通過しうる範囲を とする。 の体積を求めよ。

[6] を原点とする座標平面上で考える。 以上の整数 に対して，ベクトル を

と定める。投げたとき表と裏がどちらも の確率で出るコインを 回投げて，座標平面上に点 ，，，……， を以下の規則 (i),(ii) に従って定める。

(i) は にある。

(ii) を 以上 以下の整数とする。 が定まったとし， を次のように定める。

・ 回目のコイン投げで表が出た場合，

により を定める。 ただし， は1回目から 回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。

・ 回目のコイン投げで裏が出た場合， を と定める。

(1) とする。 が にある確率を求めよ。

(2) とする。 が にあり，かつ，合計200回のコイン投げで表がちょうど 回出る確率を とおく。ただし である。 を求めよ。また が最大となる の値を求めよ。