https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2022/Bunka

2022.02.26記

[3] 数列 $\{a_n\}$ を次のように定める。
$a_1=4$ ， $a_{n+1}=a_n^2+n(n+2)$ （ $n=1,2,3,\cdots\cdots$ ）

(1) $a_{2022}$ を $3$ で割った余りを求めよ。

(2) $a_{2022}$ ， $a_{2023}$ ， $a_{2024}$ の最大公約数を求めよ。

2022.02.26記

[解答]
$\mbox{mod} \,3$ で考える。

$n=3m$ のとき， $a_{3m+1}\equiv a_{3m}^2$ ，
$n=3m+1$ のとき， $a_{3m+2}\equiv a_{3m+1}^2$ ，
$n=3m+2$ のとき， $a_{3m+3}\equiv a_{3m+1}^2+2$ ，

と漸化式の周期が3となることに注意して3項ずつ組にして考えると
$a_1\equiv 1,a_2\equiv 1, a_3\equiv 0$ ,
$a_4\equiv 0,a_5\equiv 0, a_6\equiv 2$ ,
$a_7\equiv 1,a_8\equiv 1, a_3\equiv 0$
のように周期が2組、つまり6項であることがわかる。

よって， $a_{2022}\equiv a_6\equiv 2$ ，つまり3で割った余りは $2$ である。

(2) ユークリッドの互除法により，
$a_{2022}$ と $a_{2023}$ の最大公約数は $a_{2022}$ と $2022\times 2024$ の最大公約数に等しく，
$a_{2023}$ と $a_{2024}$ の最大公約数は $a_{2023}$ と $2023\times 2025$ の最大公約数に等しい。

よってまず， $2022\times 2024$ と $2023\times 2025$ の最大公約数を求めれば良い。 $N=2022$ とおくと
$(N+1)(N+3)-N(N+2)=2N+3$
であるから，それは $N(N+2)$ と $2N+3$ の最大公約数に等しい。

ここで $N$ が偶数に注意すると， $\dfrac{N}{2}$ は整数であり，
$\dfrac{N}{2}(2N+3)-\dfrac{N}{2}(2N+2)=\dfrac{N}{2}$
であるから，それは $2N+3$ と $\dfrac{N}{2}$ の最大公約数に等しく，それは $3$ と $\dfrac{N}{2}=1011$ の最大公約数である $3$ である。

つまり， $2022\times 2024$ と $2023\times 2025$ の最大公約数は $3$ である。

ここで， $a_{2022}\equiv a_{6}\equiv 2$ ( $\mbox{mod}\,3$ ) であるから， $a_{2022}$ は $3$ を素因数にもたないので，求める最大公約数は $1$ である。

ユークリッドの互除法を丁寧に使ってみたが，連続する自然数は互いに素なので $N$ と $N+1$ は互いに素で， $N+2$ と $N+3$ も互いに素である。よって
$\mbox{gcd}(N(N+2),(N+1)(N+3)$
$=\mbox{gcd}(N,N+3)\times \mbox{gcd}(N+2,N+1)$
となり， $N+2$ と $N+1$ も互いに素だから，この値は
$=\mbox{gcd}(N,N+3)=\mbox{gcd}(N,3)$
に等しいことが任意の自然数 $N$ について成立することがわかる。

つまり， $a_N,a_{N+1},a_{N+2}$ の最大公約数は $\mbox{gcd}(N,3)$ となり， $N\equiv 3,4,5$ （ $\mbox{mod}\, 6$ ）のときは最大公約数が $3$ となり，それ以外の場合は $1$ となることがわかる。