2021年(令和3年)東京大学-数学(理科)

[1]
を実数とする．座標平面上の放物線 は放物線 と つの共有点をもち，一方の共有点の 座標は を満たし，他方の共有点の 座標は を満たす．

(1)点 のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)放物線 の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．

[2]
複素数 に対して整式 を考える． を虚数単位とする．

(1) を複素数とする． が成り立つとき， をそれぞれ で表せ．

(2) がいずれも 以上 以下の実数であるとき， のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．

[3]
関数 に対して， のグラフを とする．点 における の接線を とする．

(1) と の共有点で と異なるものがただ つ存在することを示し, その点の 座標を求めよ．

(2)(1)で求めた共有点の 座標を とする. 定積分 を計算せよ．

[4]
以下の問いに答えよ．

(1)正の奇数 と正の整数 が を満たしているとする． を で割ったあまりが を で割った余りと等しいならば， を で割った余りは を で割った余りと等しいことを示せ．

(2)正の整数 が を満たしているとする．このとき, に対して となるような正の奇数 が存在することを示せ．

(3) は(2)の通りとし，さらに が で割り切れるとする． を で割ったあまりは を で割った余りと等しいことを示せ．

(4) を で割った余りを求めよ．

[5]
を正の実数とする． における の関数 を，座標平面上の 点 ， 間の距離 の 乗として定める．

(1) の範囲に となる がただ1つ存在することを示せ．

(2) 以下が成り立つような の範囲を求めよ.

における の関数 は，区間 のある点において最大になる．

[6]
定数 に対し， が についての恒等式であるとする．

(1) であるとき， を で表せ．

(2) とする． が定数 を用いて

と表されているとき，有理数を係数とする についての整式 と で

を満たすものを 組求めよ．

(3) を整数とする． の 次式

が有理数を係数とする 次式の積に因数分解できるような をすべて求めよ．