2019年(平成31年)東京大学-数学(文科)

[1] 座標平面の原点を とし，，，， を辺の長さが1の正方形の頂点とする．3点 ，， はそれぞれ辺 ，， 上にあり，3点 ，，および3点，， はどちらも面積が の三角形の3頂点であるとする．

(1) と を で表し，，， それぞれのとりうる値の範囲を求めよ．

(2) の最大値，最小値を求めよ．

[2] を原点とする座標平面において，点 を通り，線分 と垂直な直線を とする．座標平面上を点 が次の2つの条件をみたしながら動く．

条件1：

条件2：点 と直線 の距離を とし，点 と直線 の距離を とするとき

このとき， が動く領域を とする．
さらに， 軸の正の部分と線分 のなす角を とする．

(1) を図示し，その面積を求めよ．

(2) のとりうる値の範囲を求めよ．

[3] 正八角形の頂点を反時計回りに ，，，，，，， とする．また，投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ のコインがある．点 が最初に点 にある．次の操作を10回繰り返す．

操作：コインを投げ，表が出れば点 を反時計回りに隣接する頂点に移動させ，裏が出れば点 を時計回りに隣接する頂点に移動させる．

例えば，点 が点 にある状態で，投げたコインの表が出れば点 に移動させ，裏が出れば点 に移動させる．

以下の事象を考える．

事象S：操作を10回行った後に点 が点 にある．

事象T：1回目から10回目の操作によって，点 は少なくとも1回，点 に移動する．

(1) 事象Sが起こる確率を求めよ．

(2) 事象Sと事象Tがともに起こる確率を求めよ．

[4] を原点とする座標平面を考える．不等式 が表す領域を とする．また，点， が領域 を動くとき， をみたす点 が動く範囲を とする．

(1) ， をそれぞれ図示せよ．

(2) ， を実数とし，不等式 が表す領域を とする。また，点 ， が領域 を動くとき， をみたす点 が動く範囲を とする． は と一致することを示せ．