https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2018/Rika

2020.09.30記

本問のテーマ

シュタインメッツの立体（直交2円柱の交わり）

2024.09.22記

[解答]
(1) $y=t$ が $V_1$ と共有点をもつ範囲は $-r\leqq t\leqq r$ であり，切り口は
円 $(x-a)^2+z^2=\sqrt{r^2-t^2}$
が $0\leqq a\leqq 1$ で動くときの通過範囲である．また， $y=t$ が $V_3$ と共有点をもつ範囲は $1-r\leqq t\leqq 1+r$ であり，切り口は
円 $(x-1)^2+(z-c)^2=\sqrt{r^2-(1-t)^2}$ が $0\leqq c\leqq 1$ で動くときの通過範囲である．

よって，平面 $y=t$ が $V_1，V_3$ 添うほうと共有点をもつ範囲は $-r\leqq t\leqq r$ かつ $\dfrac{1}{2}\lt r\lt 1$ により， $1-r\leqq t\leqq r$ である．

共通部分については，
円 $(x-a)^2+z^2=\sqrt{r^2-t^2}$ が $0\leqq a\leqq 1$ で動くときの通過範囲と円 $(x-1)^2+(z-c)^2=\sqrt{r^2-(1-t)^2}$ が $0\leqq c\leqq 1$ で動くときの通過範囲を図示すれば良いが，円の半径の大小関係は $t=\dfrac{1}{2}$ で入れかわるので $1-r\leqq t\leqq\dfrac{1}{2}$ ， $\dfrac{1}{2}\leqq t\leqq r$ で場合分けが生ずる（図示略）．

(2) $y=t$ における共通部分において $(1,t,0)$ から一番遠い点は $(\sqrt{r^2-t^2},t,\sqrt{r^2-(1-t)^2})$ であるから，
$(r^2-t^2)+\{r^2-(1-t)^2\}\leqq r^2$ ，
つまり
$r^2\leqq 2t^2-2t+1$ ，
が $1-r\leqq t\leqq r$ で成立することが必要十分条件である．

ここで $2t^2-2t+1$ は $t=\dfrac{1}{2}$ で最小値 $\dfrac{1}{2}$ をとり， $\dfrac{1}{2}\lt r\lt 1$ より $t=\dfrac{1}{2}$ は $1-r\leqq t\leqq r$ に含まれるので，求める必要十分条件は $r^2\leqq \dfrac{1}{2}$ である．よって求める必要十分条件は $\dfrac{1}{2}\lt r\lt 1$ を考慮して
$\dfrac{1}{2}\lt r\leqq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
となる．

(3) $V_i$ の体積を $v_{i}$ ， $V_i$ と $V_j$ の共通部分の体積を $v_{ij}$ ， $V_1$ ， $V_2$ ， $V_3$ の共通部分の体積を $v_{123}$ とおくと，(2)により $v_{13}=v_{123}$ である．よって
$V=v_1+v_2+v_3-v_{12}-v_{13}-v_{23}+v_{123}$ $=v_1+v_2+v_3-v_{12}-v_{23}$
である．図形の対称性から $v_2=v_3=v_1=S$ ， $v_{23}=v_{21}=T$ であるから
$V=3S-2T$
となる．

(4) $S$ は円柱と球の体積に分けて $\pi r^2+\dfrac{4}{3}\pi r^3$ となる．
$T$ は2円柱の共通部分の $\dfrac{1}{4}$ と球の体積の $\dfrac{3}{4}$ を合わせたものだから $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{16}{3}r^3+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3$ $=\dfrac{4}{3}r^3+\pi r^3$ となる．

よって
$V=3S-2T=3\pi r^2+ \left(2\pi-\dfrac{8}{3}\right)r^3$
となる．