https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2018/Rika

2020.09.30記

本問のテーマ

カージオイドの反転は放物線
複素平面における直線の方程式
複素平面における直線に関する対称点

2021.01.24記

カージオイドの反転は放物線

カージオイドが反転で放物線に移ることは良く知られている．詳細は
遠藤一成，カージオイド（心臓形）について，数研通信38号(2000年9月)[pdf]
大島利雄，高校生のための現代数学講座「複素数」講義(1)2008年7月26日[pdf]
などを参照のこと．なお，大島利雄先生は dviout の製作者としても有名である．

遠藤には，問3，4として
$w=z^2$ で円 $|z-1|=1$ がカージオイドに移り，
原点に尖点をもつカージオイド $r=\dfrac{a}{2}(1+\cos\theta)$ (極座標) は反転で $y^2=-\dfrac{4}{a}\Bigl(x-\dfrac{1}{a}\Bigr)$ (直交座標)に移ることが示されている（本問の場合は $a=4$ ）．

[大人の解答]
複素平面において，単位円上の点 $\mbox{A}(1)$ で単位円に外側で接する半径1の円を滑らずに転がすことを考える．このとき外側の円（転円）上の定点（点 $(1)$ から出発する）描く曲線はカージオイドとなる．
この転円と単位円の接点が $\mbox{P}(z)$ のとき転円上の定点は $\mbox{Q}(u)$ となるので， ${\rm Q}$ の軌跡は $1$ に尖点をもち，左側にふくらんだ実軸対称なカージオイドとなる．
${\rm R}(v)$ ， $v=1-u$ とおくと， ${\rm R}$ の軌跡は $0$ に尖点をもち，右側にふくらんだ実軸対称なカージオイドとなる．よって ${\rm X}(w)$ は，このカージオイドを反転して実軸に関して対称移動したものとなる．原点を尖点とするカージオイドを反転させると放物線となるので，求める軌跡は放物線となる．

ここで $z=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\to -1\to \dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ と単位円周上を連続的に追跡することにより，
放物線は $z=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\to \dfrac{1}{4}\to \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ と動くので，求める軌跡は　 $w=x+yi$ とすると $x=\dfrac{1}{4}-y^2$ の $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq y\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ の部分を動く．

複素平面における直線の方程式

（2024.11.01追記）

複素平面における直線の方程式を考えるときは，適当な複素数で除することにより，直線の方程式を「実部が一定」と虚軸に平行な直線として考えるのが一番汎用性が高い．

法線方向が $\alpha$ である原点からの距離が $h$ となる直線の方程式は $\mbox{Re}\left(\dfrac{z}{\alpha}\right)=\dfrac{h}{|\alpha|}$ ，つまり $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=2h|\alpha|$ ，または $\dfrac{\dfrac{\overline{\alpha}}{|\alpha|} z+\dfrac{\alpha}{|\alpha|}\overline{z}}{2}=h$ となる．

このことから，原点と直線 $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=k$ の距離は $\dfrac{k}{2|\alpha|}$ となり，点 $\beta$ と直線 $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=k$ の距離は直線 $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=k$ と直線 $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=\overline{\alpha}\beta+\alpha\overline{\beta}$ との幅を考えて， $\dfrac{|\overline{\alpha}\beta+\alpha\overline{\beta}-k|}{2|\alpha|}$ であることが直ちに導かれる．

ここで，法線方向が $\alpha$ で，点 $\beta$ を通る直線の方程式は $\mbox{Re}\left(\dfrac{z}{\alpha}\right)=\mbox{Re}\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)$ となることから，点 $\beta$ と直線 $\mbox{Re}\left(\dfrac{z}{\alpha}\right)=\dfrac{h}{|\alpha|}$ の距離は
$|\alpha|\cdot\left| \mbox{Re}\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right) -\dfrac{h}{|\alpha|} \right|$ $=|\alpha| \cdot \left| \mbox{Re}\left( \dfrac{\beta}{\alpha}\right) -h\right|$ $=\left|\dfrac{\overline{\alpha}\beta+\alpha\overline{\beta}}{2|\alpha|}-h\right|$
というように求めることもできる．

ちなみに，原点から直線 $\mbox{Re}\left(\dfrac{z}{\alpha}\right)=\dfrac{h}{|\alpha|}$ に下した垂線の足は $\dfrac{h}{|\alpha|}$ を元に戻して $\dfrac{h\alpha}{|\alpha|}$ となる．これは単位ベクトルの意味を考えれば自明である．そして原点から直線 $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=k$ に下した垂線の足は $\dfrac{k\alpha}{2|\alpha|^2}$ となる．

複素平面における直線に関する対称点

（2024.11.01追記）

一般に直線に関する対称点を与える公式を導くこともできるが，複素平面における直線の方程式を考えるときは，適当な複素数で除することにより，直線の方程式を「実部が一定」と虚軸に平行な直線として考えるのが一番汎用性が高いことを踏まえると，次のように考えることができる．

虚軸に平行な直線 $\mbox{Re}(z)=k$ に関して点 $\alpha$ を対称移動した点の座標を $\beta$ とすると $\overline{\alpha}$ と $\beta$ の中点は $k$ であるから， $\beta=2k-\overline{\alpha}$ が成立する．

よって $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=k$ に関して点 $\beta$ を対称移動した点について考えるとき， $\mbox{Re}\left(\dfrac{z}{\alpha}\right)=\dfrac{k}{2|\alpha|^2}$ に関して点 $\dfrac{\beta}{\alpha}$ を対称移動した点　 $\dfrac{k}{|\alpha|^2}-\dfrac{\overline{\beta}}{\overline{\alpha}}=\dfrac{k-\alpha\overline{\beta}}{|\alpha|^2}$ を元に戻した $\dfrac{k-\alpha\overline{\beta}}{\overline{\alpha}}$ が求める対称点となる．

[解答]

(1) $|z|=1$ （ $z\neq 1$ ）とする．
$C$ の $z$ における接線上の点を $Z$ とすると， $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{Z}{z}\Bigr)=1$ をみたすので， $\dfrac{u}{z}=2-\dfrac{1}{\overline{z}}=2-z$ が成立し， $u=z(2-z)$ となる．

また， $\overrightarrow{\rm AQ}\parallel\overrightarrow{\rm OP}$ により $1-u=-kz$ （ $k\gt 0$ ）なる実数 $k$ が存在するので， $\dfrac{\overline{w}}{w}$ $=\dfrac{-kz}{-k\overline{z}}=\dfrac{z}{\overline{z}}=z^2$ となる．

そして $1-u=(z-1)^2$ により $w=\dfrac{1}{(z-1)^2}$ だから $\dfrac{|w+\overline{w}-1|}{|w|}=| 1+z^2-(z-1)^2|=2|z|=2$ となる．

(2) $\Bigl|\mbox{Re}(w)-\dfrac{1}{2}\Bigr|=|w|$ であるから， $w$ は原点を焦点，実部が $\dfrac{1}{2}$ である直線を準線とする放物線を描く．

$\overrightarrow{\rm AQ}\parallel\overrightarrow{\rm OP}$ で同じ向きだから
$\arg (w)=\arg\left(\dfrac{1}{1-u}\right)=-\arg(1-u)=\pi-\arg(u-1)=\pi-\arg(z)$
となるので， $\dfrac{\pi}{3}\leqq \arg (z) \leqq\dfrac{5\pi}{3}$ から， $-\dfrac{2\pi}{3}\leqq \arg (w)\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ となるので，放物線の $-\dfrac{2\pi}{3}\leqq \arg (w)\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ の部分，すなわち，2点 $\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$ を結ぶ弧(両端含む)となる．

簡単な計算により， $w=\dfrac{-\overline{z}}{4\sin^2\dfrac{\theta}{2}}$ となる．