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問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.01.26記

[解答]
(1) $C$ の接線 $y=2tx-t^2+k\Leftrightarrow 2tx-y-t^2+k=0$ （ $a=2t，b=k-t^2$ ）と $D$ の接線 $x=2sy-s^2+k\Leftrightarrow x-2sy+s^2-k=0$ が一致する条件は $2t:-1:-t^2+k=1:-2s:s^2-k$ なる $s,t$ の組が存在することである．

よって $-4st=-1$ かつ $2t(s^2-k)=-t^2+k$ となれば良く， $t=\dfrac{a}{2}，s=\dfrac{1}{2a}$ により $a\Bigl(\dfrac{1}{4a^2}-k\Bigr)=-\dfrac{a^2}{4}+k$ だから， $a\neq -1$ より， $k=\dfrac{a^2-a+1}{4a}$ ， $b=\dfrac{-a^3+a^2-a+1}{4a}$

(2) $a=2$ のとき $k=\dfrac{3}{8}$ となる．このとき， $\dfrac{3}{8}=\dfrac{a^2-a+1}{4a}$ から $a=2,\dfrac{1}{2}$ となり，それぞれの $a$ に対して $b=-\dfrac{5}{8}，\dfrac{5}{16}$ となる．また，2つの放物線は $y=x$ について対称であるから， $a=-1$ なる共通接線が存在し，それを求めると $y=-x+\dfrac{1}{8}$ である．

よって共通接線は3本であり， $(a,b)=\Bigl(2,-\dfrac{5}{8}\Bigr)，\Bigl(\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{16}\Bigr)，\Bigl(-1,-\dfrac{1}{8}\Bigr)$