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問題：2017年(平成29年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

2021.01.26記

[大人の解答]
(1) $L$ を原点について反転させて複素共役をとったものだから， $0,\dfrac{2}{\alpha}$ を直径とする円から原点を除いたもの．よって中心は $\dfrac{1}{\alpha}$ で半径は $\dfrac{1}{|\alpha|}$ ．

(2) $\beta,\beta^2$ を結ぶ線分は，実部が $-\dfrac{1}{2}$ となる直線のうち単位円の周または内部にある部分である．(1) よりこの線分の反転による像は $0,-2$ を直径とする円のうち単位円の周または外部にある部分である．

これは $0,-2$ を直径とする円の実部が $-\dfrac{1}{2}$ 以下の部分．

[解答]
$L$ 上の点を $z$ とすると $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{z}{\alpha}\Bigr)=\dfrac{1}{2}$ だから，

$\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{1}{\alpha w}\Bigr)=\dfrac{1}{2}$ ，つまり $\mbox{Re}\Bigl(\dfrac{\overline{w}}{\alpha}\Bigr)=\dfrac{1}{2}|w|^2$ となる．

よって， $2\dfrac{\alpha w + \overline{\alpha}\,\overline{w}}{|\alpha|^2}=|w|^2$ となり， $\Bigl| w-\dfrac{1}{\alpha} \Bigr|^2=\dfrac{1}{|\alpha|}$ となるので，中心 $\dfrac{1}{\alpha}$ ，半径 $\dfrac{1}{|\alpha|}$ の円から原点を除いたもの．

(2) $\beta,\beta^2$ を結ぶ線分は，実部が $-\dfrac{1}{2}$ となる直線だから (1) で $\alpha=-1$ とおいたものとなり，線分の像は $-1$ 中心で半径が $1$ の円上にある．線分上の点は直線上で $|z|\leqq 1$ をみたす部分なので，円周上で $|w|=\dfrac{1}{|z|}\geqq 1$ をみたす部分が求める軌跡である．

軌跡の限界については，線分上の $z$ について $\dfrac{2\pi}{3}\leqq \arg (z)\leqq\dfrac{4\pi}{3}$ をみたす部分であり， $\arg (w)=-\arg (z)$ から $-\dfrac{2\pi}{3}\leqq \arg (w)-\leqq\dfrac{4\pi}{3}$ をみたす部分となる，としても良い．