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本問のテーマ

チェビシェフ多項式

2021.01.26記

[解答]
(1) $\cos 3\theta=4x^3-3x$ ， $\cos 2\theta=2x^2-1$ により
$f(\theta)=4x^3+2ax^2+(b-3)x-a$ となり，よって $g(\theta)=4x^2+2(a+2)x+2a+b+1=:G(x)$

(2) $G(x)=4\Bigl(x+\dfrac{a+2}{4}\Bigr)^2-\dfrac{1}{4}a^2+a+b$ の $-1\lt x\lt 1$ における最小値が $0$ となる条件は $-1\lt\dfrac{a+2}{4}\lt 1$ （ $-6\lt a\lt 2$ ）かつ $b=\dfrac{1}{4}a^2-a$

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