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問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.23記

[解答]

図形は $z$ 軸に関して回転対称であるから， $xz$ 平面との交わりについて考える． ${\rm A}(t,0)（|t|\leqq\sqrt{3}）$ とおくと $\overrightarrow{\rm AB}=\dfrac{2}{\sqrt{1+t^2}}(-t,1)$ であるから，
${\rm B}(x,z)=\Bigl(t+\dfrac{-2t}{\sqrt{1+t^2}},\dfrac{2}{\sqrt{1+t^2}}\Bigr)$
となる． $z=\dfrac{2}{\sqrt{1+t^2}}$ により $t^2=\dfrac{4-z^2}{z^2}$ であるから，
$x^2=(t-tz)^2=t^2(1-z)^2=\dfrac{(4-z^2)(1-z)^2}{z^2}$
となるので，求める体積を $V$ とすると
$\dfrac{V}{\pi}=\displaystyle\int_1^2 x^2dz$ $=\displaystyle\int_1^2\dfrac{(4-z^2)(1-z)^2}{z^2}dz$
$=\displaystyle\int_1^2\dfrac{4(1-z)^2}{z^2}dz$ $-\displaystyle\int_1^2 (1-z)^2 dz$
$=\displaystyle\int_1^2\Bigl(\dfrac{4}{z^2}-\dfrac{8}{z}+4\Bigr)dz$ $-\displaystyle\int_0^1 z^2 dz$
$=\Bigl[ -\dfrac{4}{z}-8\log z\Bigr]_1^2+4-\dfrac{1}{3}$ $=\dfrac{17}{3}-8\log 2$
となる．よって $V=\pi\Bigl(\dfrac{17}{3}-8\log 2\Bigr)$