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問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.22記

[解答]

分点の公式より
${\rm R}_1\Bigl(\dfrac{1}{a-1},0,0\Bigr)$ ，
${\rm R}_2\Bigl(\dfrac{1}{a-1},\dfrac{1}{a-1},0\Bigr)$ ，
${\rm R}_3\Bigl(\dfrac{1}{a-3},0,0\Bigr)$
であるから，
${\rm R}_1{\rm R}_3$ を底辺とみて
$S(a)=\dfrac{1}{2}\cdot\Bigl|\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{a}{a-3}\Bigr|\cdot \dfrac{a}{a-1}$
$=\dfrac{a^2}{(a-1)^2(3-a)}（∵1\lt a\lt 3）$
となる．
$S'(a)=\dfrac{a(a+3)(a-2)}{(a-1)^2(3-a)^2}$
により， $S(a)$ の増減表は次表．

$a$	$(1)$	…	$2$	…	$(3)$
$S'(a)$		$-$		$0$	$+$
$S(a)$		$\searrow$		$4$	$\nearrow$

よって $S(a)$ は $a=2$ のとき最小値 $4$ をとる．

$S'(a)$ は真面目に計算したが結構面倒だった．

$\dfrac{1}{S(a)}=-a+5-\dfrac{7}{a}+\dfrac{3}{a^2}$
を微分して
$-1+\dfrac{7}{a^2}-\dfrac{6}{a^3}$ $=-\Bigl(1-\dfrac{1}{a}\Bigr)\Bigl(1-\dfrac{2}{a}\Bigr)\Bigl(-1-\dfrac{3}{a}\Bigr)$
と求めても良い．