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問題：2016年(平成28年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 座標平面上の2つの放物線
$A:y=x^2$ ，
$B:y=-x^2+px+q$
が点 $(1，1)$ で接している．ここで， $p$ と $q$ は実数である．さらに $t$ を正の実数とし，放物線 $B$ を $x$ 軸の正の向きに $2t$ ， $y$ 軸の正の向きに $t$ だけ平行移動して得られる放物線を $C$ とする．

(1) $p$ と $q$ の値を求めよ．

(2) 放物線 $A$ と $C$ が囲む領域の面積を $S(t)$ とする．ただし， $A$ と $C$ が領域を囲まないときは $S(t)=0$ と定める． $S(t)$ を求めよ．

(3) $t\gt 0$ における $S(t)$ の最大値を求めよ．

2021.03.23記

[解答]

(1) $x^2-(-x^2+px+q)=2(x+1)^2$ が成立するので $p=-4$ ， $q=-2$ である．

(2) $C:y=-(x-2t)^2-4(x-2t)-2+t$ $=-x^2+4(t-1)x-4t^2+9t-2$ であるから， $A$ と $C$ の交点の $x$ 座標は $2x^2-4(t-1)x+4t^2-9t+2=0$ の2解となる．

この2次方程式の判別式を $D$ とおくと
$D/4=4(t-1)^2-2(4t^2-9t+2)$ $=-4t^2+10t$ $=-4t\Bigl(t-\dfrac{5}{2}\Bigr)$
となるので，

$t\geqq\dfrac{5}{2}$ のとき $S(t)=0$ である．

$0\lt t\lt\dfrac{5}{2}$ のとき，２交点の $x$ 座標を $\alpha$ ， $\beta$ とおくと， $\beta-\alpha=\sqrt{-4t^2+10t}$ であるから， $S(t)=\dfrac{1}{3}(-4t^2+10t)^{\frac{3}{2}}$ となる．

(3) $-4t+10t=-4t\Bigl(t-\dfrac{5}{2}\Bigr)$ が最大になれば良く，それは $t=\dfrac{5}{4}$ のときで， $S\Bigl(\dfrac{5}{4}\Bigr)=\dfrac{1}{3}\Bigl(\dfrac{25}{4}\Bigr)^{\frac{3}{2}}$ が最大値となる．