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問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.23記

[解答]

(1) $a_n=\dfrac{p_{n+1}{}^2+p_{n}{}^2+1}{p_{n+1}p_{n}}$ とおくと，
$a_{n+1}=\dfrac{p_{n+2}{}^2+p_{n+1}{}^2+1}{p_{n+2}p_{n+1}}$ $=\dfrac{\dfrac{(p_{n+1}{}^2+1)^2}{p_n{}^2}+p_{n+1}{}^2+1}{\dfrac{p_{n+1}{}^2+1}{p_n}\cdot p_{n+1}}$ $=\dfrac{p_{n+1}{}^2+1+p_n{}^2}{p_n\cdot p_{n+1}}=a_n$
より $a_n=a_1=3$ は定数数列となって題意は示された．

(2) (1)より
$a_n=\dfrac{p_{n}{}^2+p_np_{n+2}}{p_{n+1}p_n}$ $=\dfrac{p_n+p_{n+2}}{p_{n+1}}=3$ だから， $p_{n}+p_{n+2}＝3p_{n+1}$

(3) (2) より $p_n$ は $p_1=1$ ， $p_2=2$ ， $p_{n+2}=3p_{n+1}-p_n$ という漸化式をみたす数列である．

一方， $q_{n+4}=q_{n+3}+q_{n+2}$ $=2q_{n+2}+q_{n+1}$ $=3q_{n+2}-q_{n}$ であるから， $q_{2n-1}=P_n$ とおくと， $P_n$ は
$P_1=q_1=1$ ， $P_2=q_3=2$ ， $P_{n+2}=3P_{n+1}-P_n$
という漸化式をみたす数列であるから，すべての正の整数 $n$ について $p_n=P_n=q_{2n-1}$ が成立する．