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問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.23記

[解答]

(1) $f(x)=ax^p-\log x（x\gt 0）$ とおくと
$f'(x)=pax^{p-1}-\dfrac{1}{x}$ $=\dfrac{apx^p-1}{x}$
となるので， $f(x)$ の増減表は

$x$	$(0)$	…	$(ap)^{-1/p}$	…	$(+\infty)$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f'(x)$	$(+\infty)$	$\searrow$	$\dfrac{1+\log (ap)}{p}$	$\nearrow$	$(+\infty)$

となる．よって $f(x)=0$ の解が1つのみである必要十分条件は $\dfrac{1+\log(ap)}{p}=0$ ，つまり $a=\dfrac{1}{ep}$ となり，このとき $\rm Q$ の $x$ 座標は $e^{1/p}$ である．

(2) $\dfrac{V}{\pi}=\displaystyle\int_0^{e^{1/p}} (ax^p)^2 dx$ $-\displaystyle\int_1^{e^{1/p}} (\log x)^2 dx$
$=\dfrac{a^2}{2p+1}e^{(2p+1)/p}$ $-\displaystyle\int_0^{1/p} u^2 e^u du（u=\log x）$
$=\dfrac{1}{p^2(2p+1)}e^{1/p}$ $-\Bigl[ (u^2-2u+2)e^u\Bigr]_0^{1/p}$
$=\dfrac{1}{p^2(2p+1)}e^{1/p}-\dfrac{1-2p+2p^2}{p^2}e^{1/p}+2$
$=\dfrac{2(1-2p)}{2p+1}e^{1/p}+2$
だから， $V=2\pi\Bigl(\dfrac{1-2p}{1+2p}e^{1/p}+1\Bigr)$ となる．

(3) $2\pi=2\pi\Bigl(\dfrac{1-2p}{1+2p}e^{1/p}+1\Bigr)$ により，
$\dfrac{1-2p}{1+2p}e^{1/p}=0$ ，つまり $p=\dfrac{1}{2}$ である．