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問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.22記
包絡線。

$f(x,y,a)=4ay-4a^2x^2+4a^2-1=0$ …(1)
から，
$\dfrac{\partial}{\partial a}f(x,y,a)=4y-8a(x^2-1)=0$ …(2)
となる． $x^2=1$ とすると $y=0$ となるが，これは(1)をみたさないので， $x\neq\pm 1$ であり，
$a=\dfrac{y}{2(x^2-1)}$ となる．よって (1) に代入して整理すると
$x^2-y^2=1$ …(3)
となる．ここで(1)と(3)の接点は連立させることにより $y=\dfrac{1}{2a}$ で接するので，接しながら動く様子を図示すると

「 $|x|\lt 1$ 」または「 $|x|\geqq 1$ かつ $y\geqq \sqrt{x^2-1}$ 」但し「 $(\pm 1，0)$ を除く．

2021.03.02記

[解答]

$f(a)=4(x^2-1)a^2-4ay+1=0$ をみたす正の数 $a$ が存在するような $(x,y)$ の範囲を求めれば良い．

(i) $x^2-1=0$ のとき $4ay =1$ により $y\gt 0$ であれば良い．

(ii) $x^2-1\lt 0$ のとき $f(0)=1\gt 0$ ， $f(a)\to -\infty（a\to+\infty）$ により必ず $f(a)=0$ なる正の数 $a$ が存在する．

(iii) $x^2-1\gt 0$ のとき $（aの係数）\gt 0$ かつ $（判別式）\geqq 0$ により「 $y\gt 0$ かつ $x^2-y^2\leqq 1$ 」

を図示すれば良い．

（図示略）

2022.03.08記
パラメータが2次式で入っている場合の包絡線は判別式で，という標語に基づくなら
$f(a)=4(x^2-1)a^2-4ay+1=0$
の判別式（÷16）から
$y^2-(x^2-1)=0$
が包絡線の式になることがわかる．もちろん，判別式からだと接点の座標がわからないので
$f(a)=4(x^2-1)\left\{a-\dfrac{y}{2(x^2-1)}\right\}^2+\dfrac{x^2-y^2-1}{x^2-1}$
と平方完成することになる．

2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

も参照のこと．