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問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.23記

[解答]

(ii) により， $\rm O$ から2円に引いた接線の長さは等しいので， $C_2$ と $y$ 軸の接点は $(0,1)$ である．

このとき， $C_1,C_2$ の中心は $(1,r_1),(r_2,1)$ であるから，半径の和と中心間距離が等しいという条件は
$(r_2-1)^2+(1-r_1)^2=(r_1+r_2)^2$
が成立する．よって $(r_1+1)(r_2+1)=2$ となる．

このとき，
$8r_1+9r_2=8(r_1+1)+9(r_2+1)-17$ $\geqq 2\sqrt{8\cdot9\cdot(r_1+1)(r_2+1)}-17$ $=2\sqrt{8\cdot9\cdot2}-17$ $=24-17=7$
であり，等号成立は $8(r_1+1)=9(r_2+1)=12$ ，つまり $r_1=\dfrac{1}{2}$ ， $r_2=\dfrac{1}{3}$ のときである．

このとき，中心 $\Bigl(1，\dfrac{1}{2}\Bigr),\Bigl(\dfrac{1}{3}，1\Bigr)$ を結ぶ直線の傾きが $\dfrac{1/2}{-2/3}=-\dfrac{3}{4}$ であるから，原点を通る直線 $l$ の方程式は $y=\dfrac{4}{3}x$ である．