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2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科)[1]

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.03.23記

[解答]

命題Aについて

$f(x)=x^3-26x^2+2600$ とおくと， $f'(x)=3x^2-52x$ だから，増減表を考えると， $x=\dfrac{52}{3}$ で極小値をとるので， $f(n)$ は $n=17$ または $18$ で最小値をとる． $f(17)=-1$ となるので，これが反例となり，よって命題Aは偽である．

（反例が1つ見つかったので， $n=18$ は調べなくて良い）

命題Bについて

$5n+5m+3l=1$ のとき，
$10mn+3l(m+n)$ $=10mn+(1-5m-5n)(m+n)$ $=-5m^2-5n^2+m+n$
であるが，
$-5x^2+x\geqq 0\Longleftrightarrow 0\leqq x\leqq\dfrac{1}{5}$
に注意すると，整数 $m,n$ に対して
$5m^2-5n^2+m+n\leqq 0（等号はm=n=0）$
となるが， $m=n=0$ のとき， $l=\dfrac{1}{3}$ と整数ではないので， $m=n=0$ とはならない．

よって $5m^2-5n^2+m+n\lt0$ となるので，命題Bは真である．

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