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問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.07記
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta d\theta$ $=\dfrac{\pi}{4}$
や
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 2\theta d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^2 2\theta d\theta$ $=\dfrac{\pi}{4}$
は常識．

[解答]

(1) 共有点の $x$ 座標は $2x^2-2ux+u^2+u-1=0$ の解だから，この判別式が正または0となれば良く，
$4u^2-8(u^2+u-1)\geqq 0$ つまり $u^2+2u-2\leqq 0$
よって $-1-\sqrt{3}\leqq u\leqq -1+\sqrt{3}$ となり，
$a=-1-\sqrt{3}，b=-1+\sqrt{3}$ となる．

(2) $y_1=-x_1^2+1$ ， $y_2=-x_2^2+1$ により
$2|x_1y_2-x_2y_1|=2|(x_1-x_2)(x_1x_2+1)|$
となる．解と係数の関係から $x_1+x_2=u$ ， $x_1x_2=\dfrac{u^2+u-1}{2}$ であるから，
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=-u^2-2u+2$ （これは正または0の値）に注意すると
$2|x_1y_2-x_2y_1|=|\sqrt{-u^2-2u+2}(u^2+u+1)|$
となる．

(3) $I=\displaystyle\int_a^b\sqrt{3-(u+1)^2}\{(u+1)^2-(u+1)+1\}du$
であるから， $u+1=\sqrt{3}\sin\theta$ と置換すると， $du=\sqrt{3}\cos\theta d\theta$ により
$I=\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{3}\cos\theta\{3\sin^2\theta-\sqrt{3}\sin\theta+1\}\sqrt{3}\cos\theta d\theta$
$=\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left\{ \dfrac{9}{4}\sin^2 2\theta-3\sqrt{3}\cos^2\theta\sin\theta+3\cos^2\theta\right\}d\theta$
$=\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{\pi}{2}+0+3\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{21}{8}\pi$
となる．