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問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.02記

[解答]
平行四辺形の $xy$ 平面への正射影の面積を $S_{xy}$ のように書くとすると
(1) $S^2=S_{xy}^2+S_{yz}^2+S_{zx}^2=1+\tan^2\beta+\tan^2\alpha$ から
$S=\sqrt{1+\tan^2\alpha+\tan^2\beta}$

(2) $p=\tan\alpha+\tan\beta，q=\tan\alpha\tan\beta$ とおくと，
$S=\dfrac{7}{6}$ から $\tan^2\alpha+\tan^2\beta=p^2-2q=\dfrac{13}{36}$ ，
$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$ より $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1$ から $p=1-q$
であるから， $p^2+2p-\dfrac{85}{36}=0$ となり， $(p+1)^2=\dfrac{121}{36}$ つまり，
$p=\dfrac{-17}{6}，\dfrac{5}{6}$ となる．
よって $p，q\gt 0$ により $p=\dfrac{5}{6}，q=\dfrac{1}{6}$ となる．

$\tan\alpha，\tan\beta$ は2次方程式 $t^2-\dfrac{5}{6}t+\dfrac{1}{6}=0$ の解で，
$\alpha\leqq \beta$ により $\tan\alpha=\dfrac{1}{3}，\tan\beta=\dfrac{1}{2}$ となる．