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2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科)[1]

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.09記

[解答]
(1) $f(x)=-2\{x-(2t-3)\}^2+t^3-9t^2+15t$ より $f(x)$ の最大値は $t^3-9t^2+15t$ である．

(2) $g(t)=t^3-9t^2+15t$ により $g'(t)=3(t-1)(t-5)$ であるから $g(t)$ は $t=5$ で極小値 $g(5)$ をとる．

解と係数の関係を利用すると $g(t)-g(5)=(t-5)^2(t+1)$ と因数分解できるので増減表は

$t$	$-1$	$\cdots$	$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$5$	$\cdots$
$g'$		$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g$	$g(5)$	$\nearrow$		$\nearrow$	$g(1)$	$\searrow$	$g(5)$	$\nearrow$

のようになる．よって求める最小値は $g(-5)=-25$ である．

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