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問題：2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.01記
定数分離

[解答]

「 $f(x)=g(x)$ かつ $x\gt 0$ 」
は
$F(x)=\dfrac{\cos x-x\sin x}{x^2}=a$ かつ $x\gt 0$ 」
だから $y=F(x)$ と $y=a$ の $x\gt 0$ における共有点が丁度3つとなる範囲を求めれば良い．
$F'(x)=-\dfrac{(x^2+2)\cos x}{x^3}=0$
だから $F'(x)$ は $\cos x=0$ の前後で符号変化して極値をとる．
その値は $\sin x=\pm 1$ に注意して $\pm\dfrac{1}{x}$ から
$\Big(\dfrac{\pi}{2}，-\dfrac{2}{\pi}\Bigr)$ ， $\Big(\dfrac{3\pi}{2}，\dfrac{2}{3\pi}\Bigr)$ ， $\Big(\dfrac{5\pi}{2}，-\dfrac{2}{5\pi}\Bigr)$ ， $\Big(\dfrac{7\pi}{2}，\dfrac{2}{7\pi}\Bigr)$ ， $\Big(\dfrac{9\pi}{2}，-\dfrac{2}{9\pi}\Bigr)$ ，…
となる．