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2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科)[1]

問題：2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.01記
回転拡大．または複素数。

${\rm P}_{n+1}$ は ${\rm P}_n$ を原点中心に $\cos\theta=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ， $\sin\theta=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 回転して $\sqrt{a^2+b^2}$ 倍拡大する回転拡大を表す．

$\rm P_0=P_6$ より拡大率は 1 であり， $6$ 以下の自然数で $6$ と互いに素なものは $1，5$ だから，回転角は $2\pi\times\dfrac{1}{6}$ ， $2\pi\times\dfrac{5}{6}$ となるので $(a，b)=\Bigl(\dfrac{1}{2}，\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$ となる．

2022.03.10記
複素数で解いておく。

[解答]
$z_n=x_n+y_n$ （ $n=0,1,2,\ldots$ ），
$\alpha=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ （ $r\geqq0$ ， $0\lt\theta\lt 2\pi$ ）とおくと
$z_{n+1}=\alpha z_n$ ，
$z_0=1$
となるので， $z_n=\alpha^n z_0$ $=\alpha^n$ $=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ である．

(i) より $\dfrac{z_6}{z_0}=r^6(\cos 6\theta+i\sin 6\theta)=1$ だから， $r^6=1$ ， $6\theta$ は $2\pi$ の倍数である．
よって $\theta=\dfrac{k\pi}{3}$ （ $k=1,2,\ldots,6$ ）とかける．

${\rm P}_6={\rm P}_0$ より (ii) と $\theta，2\theta，\ldots，6\theta$ の偏角が全て異なることと，つまり $6$ と $k$ は互いに素であることは同値となり，よって $k=1,5$ となる．

以上から $\alpha$ $=\cos\dfrac{k\pi}{3}+i\sin\dfrac{k\pi}{3}$ （ $k=1，5$ ）となるので
$(a，b)=\Bigl(\dfrac{1}{2}，\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)$
となる．

もちろん，
$k=1$ のときは $\theta，2\theta，\ldots，6\theta$ の偏角
$\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{2\pi}{3}，\ldots，\dfrac{6\pi}{3}$ は全て異なるので適する．

$k=2$ のとき $3\theta$ と $6\theta$ の偏角が $0$ に等しく不適，
$k=3$ のとき $2\theta$ と $4\theta$ の偏角が $0$ に等しく不適，
$k=4$ のとき $3\theta$ と $6\theta$ の偏角が $0$ に等しく不適．

$k=5$ のときは $\theta,2\theta,\ldots,6\theta$ の偏角
$\dfrac{5\pi}{3}，\dfrac{4\pi}{3}，\ldots，\dfrac{0\pi}{3}$ は全て異なるので適する．

$k=6$ のとき $\theta$ と $2\theta$ の偏角はが $0$ に等しく不適．

と真面目に書いても良い．

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