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問題：2013年(平成25年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2013年(平成25年)東京大学前期-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
の(1)のみ．該当する部分を切り貼りしておく．

2022.03.10記
非常に考えにくい問題．何に着目するかによって難しさが変わる（2025.01.28 に(1)[別解]を追加した．こちらの方がわかり易い）．

[解答]

$\rm A$ が得点をするのは裏が偶数回出た後に表が出たとき， $\rm B$ が得点をするのは裏が奇数回出た後に表が出たときである．

(a) $\rm A$ が2対0で勝つとき：
$n$ 回目が表であり， $n-1$ 回までに裏が $n-2$ 回，表が1回出てコインが $\rm A$ にあるので， $n=2m$ は偶数であり，裏が $n-2=2m-2$ 回出るうちの偶数回目（0回目の含む）の裏が出た次に表が1回でるので、 $0,2,\ldots,2m-2$ 回目の $m$ 通りあるから

$n$ が偶数のとき $\dfrac{m}{2^n}=\dfrac{n}{2^{n+1}}$ ，
$n$ が奇数のとき $0$

となる．

(b) $\rm A$ が2対1で勝つとき：
$n$ 回目が表であり， $n-1$ 回までに裏が $n-3$ 回，表が2回出てコインが $\rm A$ にあるので， $n=2k+1$ は奇数であり，裏が $n-3=2k-2$ 回出るうちの偶数回目（0回目の含む）の裏が出た次に表が1回でて（ $0,2,\ldots,2k-2$ 回目の $k$ 通り）、奇数回目の裏が出た次に表が1回でる（ $1,3,\ldots,2k-3$ 回目の $k-1$ 通り）ので， $k(k-1)$ 通りあるから
$n$ が偶数のとき $0$ ，
$n$ が奇数のとき $\dfrac{k(k-1)}{2^n}=\dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}}$ ，
となる．

以上から，
$n$ が偶数のとき $\dfrac{m}{2^n}=\dfrac{n}{2^{n+1}}$ ，
$n$ が奇数のとき $\dfrac{k(k-1)}{2^n}=\dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}}$ ，
となる．

2025.01.28記

[別解]
(1) $\rm A$ がコインを持っているとき，

(i) [表] が出れば $\rm A$ に1点追加して $\rm A$ がコインを持っている
(ii) [裏裏] が出れば $\rm A，B$ 共に点数が変わらず $\rm A$ にコインが戻ってくる
(iii) [裏表裏] が出れば $\rm B$ に1点追加して $\rm A$ にコインが戻ってくる

となる．

(a) $\rm A$ が2対0で勝つとき：
[表] が2個と [裏裏] が $k$ 個（ $k\geqq 0$ ）の合計 $k+2$ 個を並べ変えて最後が [表] である場合を考えれば良く，その場合の数は [表] が1個と [裏裏] が $k$ 個の並び変えの総数 $k+1$ 通りである．ここで $n=2k+2$ だから $n$ は偶数でなければならず，このときの確率は $\dfrac{k+1}{2^n}=\dfrac{n}{2^{n+1}}$ である．

(b) $\rm A$ が2対1で勝つとき：
[表] が2個と [裏表裏] が1個と [裏裏] が $k$ 個（ $k\geqq 0$ ）の合計 $k+3$ 個を並べ変えて最後が [表] である場合を考えれば良く，その場合の数は [表] が1個と [裏表裏] が1個と [裏裏] が $k$ 個の並び変えの総数 $(k+2)(k+1)$ 通りである．ここで $n=2k+5$ だから $n$ は奇数でなければならず，このときの確率は $\dfrac{(k+2)(k+1)}{2^n}=\dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}}$ である．

以上から，
$n$ が偶数のとき $\dfrac{m}{2^n}=\dfrac{n}{2^{n+1}}$ ，
$n$ が奇数のとき $\dfrac{k(k-1)}{2^n}=\dfrac{(n-1)(n-3)}{2^{n+2}}$ ，
となる．