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2013年(平成25年)東京大学前期-数学(文科)[3]

問題：2013年(平成25年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.11記
$z=(x-a)^2+(y-b)^2-a^2-b^2$ を何とみるか．

[解答]

$x^2+y^2\leqq 25$ かつ $2x+y\leqq 5$ をみたす領域を $D$ とする．

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${\rm P}(x,y)$ ， ${\rm A}(a,b)$ とするとき，
$z=(x-a)^2+(y-b)^2-a^2-b^2$ $={\rm AP}^2-{\rm OA}^2$
であるから，

(1) ${\rm A}\in D$ のとき：
${\rm P}={\rm A}$ のときに最小値 $-{\rm OA}^2=-a^2-b^2$ をとる．
つまり，
$a^2+b^2\leqq 25$ かつ $2a+\leqq 5$ のとき最小値 $-a^2-b^2$

(2) ${\rm A}\not\in D$ のとき：
${\rm P}$ と $D$ の最短距離を与える点において最小値をとる．

(a) ${\rm P}$ と $D$ の最短距離を与える点が $D$ の $2x+y=5$ の部分（両端除く）のとき：
それは $(0,5)$ と $(4,-3)$ を結ぶ線分（両端除く）に垂線の足があってかつ $2x+y\gt 5$ をみたすことであるから，
$-10\lt 2b-a\lt 10$ かつ $2a+b\gt 5$
のときである．

　

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このとき点と直線の距離の公式から ${\rm AP}=\dfrac{2a+b-5}{\sqrt{5}}$ となるので，最小値は $\dfrac{(2a+b-5)^2-5a^2-5b^2}{5}$

(b) ${\rm P}$ と $D$ の最短距離を与える点が $D$ の $x^2+y^2=25$ の部分の円弧（両端除く）のとき：
それは $\rm OP$ と円弧が交わるときであるから，
$a^2+b^2\gt 25$ かつ「 $b\lt 0$ または $3a+4b\lt 0$ 」
のときである．

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このとき ${\rm AP}=\sqrt{a^2+b^2}-5$ となるので，最小値は $(\sqrt{a^2+b^2}-5)^2-a^2-b^2$ $=25-10\sqrt{a^2+b^2}$

(c) ${\rm P}$ と $D$ の最短距離を与える点が $D$ の点 $(0,5)$ のとき：
それは $b\geqq 0$ かつ $2b-a\geqq 10$ （から $(0,5)$ を除いた部分）のときである．

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このとき ${\rm AP}^2=a^2+(b-5)^2$ となるので，最小値は $25-10b$

(d) ${\rm P}$ と $D$ の最短距離を与える点が $D$ の点 $(4,-3)$ のとき：
それは $2a+b\leqq 5$ かつ $2b-a\leqq -10$ （から $(4,-3)$ を除いた部分）のときである．

f:id:spherical_harmonics:20220311163810p:plain:w350

このとき ${\rm AP}^2=(a-4)^2+(b+3)^2$ となるので，最小値は $25-8a+6b$ 　

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