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問題：2013年(平成25年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.11記
焦点を共有する双曲線と放物線

[うまい解答]
(1) $\rm A$ は双曲線 $x^2-y^2=-1$ 上の点で、 $\rm P,Q$ は双曲線の焦点であるから， ${\rm PA}-{\rm AQ}$ は一定となる． ${\rm A}(0,1)$ の場合から一定値は $(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2$ である．

(2) $\rm A$ は $0\leqq a\leqq 1$ により，
$\dfrac{\sqrt{2}}{8}a^2\lt a \lt \sqrt{a^2+1}$
をみたすので，領域 $y\gt\dfrac{\sqrt{2}}{8}x^2$ に含まれる．よって
$\rm Q,A,B$ の順番に並ぶので，
$\rm QA+AB=QB$
が成立し， $\rm Q,A,B$ は $y$ 座標が大きい順番なので $\rm C$ の $y$ 座標は $\rm B$ の $y$ 座標より大きい．

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ここで $y=\dfrac{\sqrt{2}}{8}x^2$ の焦点は $\rm Q$ で準線は $y=-\sqrt{2}$ であるから， $\rm B$ から $y=-\sqrt{2}$ に下した垂線の足を $\rm R$ とすると $\rm QB$ $={\rm BR}$ となり，
$\rm QB+BC=RC$ $=2+\sqrt{2}$
となる．よって(1)から
$\rm PA+AB+BC$ $=2+{\rm QA}+{\rm AB}+{\rm BC}$ $=2+{\rm QA}+{\rm AB}+{\rm BC}$ $=2+(2+\sqrt{2})$ $=4+\sqrt{2}$
となって $a$ によらない定数となる．

この双曲線の $\rm A$ のある枝の準線は $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であり，離心率が $\sqrt{2}$ であるから，
${\rm QA}=\sqrt{2}\left(\sqrt{a^2+1}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $=\sqrt{2(a^2+1)}-1$
が成立するが，大切なのはこの具体的な値ではなく，準線が軸に平行であるから，焦点から双曲線上の点までの距離は，双曲線上の点から準線までの距離の定数倍となることから，簡単にかけることがわかるので工夫して計算しなくて良いことを理解することである．

[解答]
(1) ${\rm PA}^2=a^2+(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{2(a^2+1)}+1)^2$ ，
${\rm AQ}^2=a^2+(\sqrt{a^2+1}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2(a^2-1)}+1)^2$
であるから，
${\rm PA}=\sqrt{2(a^2+1)}+1$ ， ${\rm AQ}=\sqrt{2(a^2+1)}-1$
となり， ${\rm PA}-{\rm AQ}=2$ となる．

(2) ${\rm B}$ の $x$ 座標を $b$ とすると
${\rm QB}^2=b^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{8}b^2-\sqrt{2}\right)^2$
$=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{8}b^2+\sqrt{2}\right)^2$
となるので， ${\rm QB}=\dfrac{\sqrt{2}}{8}b^2+\sqrt{2}$
である．

今 $0\leqq a\leqq 1$ より $\dfrac{\sqrt{2}}{8}a^2\lt a \lt \sqrt{a^2+1}$ をみたすので， $\rm A$ は領域 $y\gt\dfrac{\sqrt{2}}{8}x^2$ に含まれる．よって $\rm Q,A,B$ の順番に並ぶので， $\rm QA+AB=QB$
が成立し， $\rm Q,A,B$ は $y$ 座標が大きい順番なので $\rm C$ の $y$ 座標は $\rm B$ の $y$ 座標より大きい．
よって ${\rm BC}=\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{8}b^2$ である．

以上から，
$\rm PA+AB+BC$ $=2+{\rm QA}+{\rm AB}+{\rm BC}$ $=2+{\rm QB}+{\rm BC}$ $=2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{8}b^2+\sqrt{2}\right)$ $+\left(\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{8}b^2\right)$ $=4+\sqrt{2}$
となって $a$ によらない定数となる．