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問題：2013年(平成25年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.11記

[解答]

$\rm P,Q$ の $x$ 座標を $p,q$ とすると， $0,p,q$ は $x(x-1)(x-3)=tx$ の3解となるので， $p,q$ は $x^2-4x+3-t=0$ の2解となり，
$p+q=4$ ， $pq=3-t$
となる．また， $p,q$ は実数により $t\geqq -1$ である．

このとき，
$g(t)=|\vec{\rm OP}|\cdot |\vec{\rm OQ}|$ $=|pq|(t^2+1)=|3-t|(t^2+1)$
となる． $h(t)=(t-3)(t^2+1)$ とおくと $g(t)=|h(t)|$ であるから， $g(t)$ のグラフは $h(t)$ のグラフを利用して描くことができる．

$h'(t)=3t^2-6t+1$ であり，
$h(t)=\dfrac{1}{3}h'(t)(t-1)-\dfrac{4t+8}{3}$
であるから， $h(t)$ は
$\left(\dfrac{3-\sqrt{6}}{3},-\dfrac{36-4\sqrt{6}}{9}\right)$ ， $\left(\dfrac{3+\sqrt{6}}{3},-\dfrac{36+4\sqrt{6}}{9}\right)$
で極値をとる3次関数となる．

よって $h(t)$ の増減を利用して得られた $g(t)$ の増減表は

$t$	$-1$	$\cdots$	$\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$	$\cdots$	$\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$g'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$		$+$
$g(t)$	$8$	$\searrow$	$\dfrac{36-4\sqrt{9}}{3}$	$\nearrow$	$\dfrac{36+4\sqrt{6}}{9}$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

となる．よって $g(t)$ は
$t=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$ で極小値 $\dfrac{36-4\sqrt{6}}{9}$ ，
$t=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$ で極大値 $\dfrac{36+4\sqrt{6}}{9}$ ，
$t=3$ で極小値 $0$
をとる．ちなみに $g(t)$ のグラフは下図のようになる．

f:id:spherical_harmonics:20220311133813p:plain:w350

極値は，関数の定義域の内点(近傍が定義域に含まれる)において定義されるので，端点は極値にははいらないことに注意．