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2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科)[4]

問題：2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.14記
（2025.01.27追記 (1) を訂正）

[解答]
(1) 連続する自然数 $N，N+1$ は互いに素であるから， $N(N+1)$ が $n$ 乗数であるならば， $N$ ， $N+1$ が共に $n$ 乗数でなければならないが， $N=p^n$ （ $p$ は自然数）とすると $(p+1)^n\gt p^n+1=N+1$ となり $N+1$ が $n$ 乗数であることに矛盾する．

よって $N(N+1)$ は $n$ 乗数でない．

(2) $n=2$ の場合は(1)で示されたので， $n\geqq 3$ として良い．

連続する自然数を $N，N+1，\ldots，N+n-1$ とすると， $N^n\lt N(N+1)\cdots(N+n-1)\lt (N+n-1)^n$ だから，もし $N(N+1)\cdots(N+n-1)$ が $n$ 乗数であるとすると， $N(N+1)\cdots(N+n-1)=(N+k)^n$ なる自然数 $k$ （ $1\leqq k\leqq n-2$ ）が存在する．

ここで，左辺にある $N+k+1$ （ $\geqq 3$ ）と $N+k$ は互いに素であるから $N+k+1$ （ $\geqq 3$ ）と右辺 $(N+k)^n$ は互いに素となり矛盾する．

よって $N(N+1)\cdots(N+n-1)$ は $n$ 乗数でない．

2025.01.27記
(1) の問題文を「連続する $2$ 個の自然数の積は $2$ 乗数でないことを示せ．」と勘違いしたことに気がついたので訂正．訂正前の誤答はこちら：

（×）(1) 連続する自然数 $N,N+1$ について $N^2\lt N(N+1)\lt (N+1)^2$ だから $N\lt\sqrt{N(N+1)}\lt N+1$ となり， $N(N+1)$ は2乗数ではない．

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