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問題：2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.14記
十分時間が経ったら，下向きの正三角形の部屋にいる確率は等しくなり $q_{2N}\to\dfrac{1}{3}$
に収束すると予想できるだろう．

[解答]

$n$ 秒後に球が部屋 $\rm Q$ にある確率を $q_n$ とおく．

奇数秒後には上向きの正三角形の部屋に，偶数秒後には下向きの正三角形の部屋にいるので，
$n$ が奇数のとき　 $q_n=0$ である．

$n$ が偶数のとき， $n=2N$ とおくと，下向きの正三角形の部屋にいるときに2秒後に隣りの部屋に移動する確率は2つの部屋それぞれ $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$ であり，自分の部屋に戻ってくる確率は $1-2\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}$ である．

よって
$q_{2N+2}=\dfrac{2}{3}q_{2N}+\dfrac{1}{6}(1-q_{2N})$ $=\dfrac{1}{2}q_{2N}+\dfrac{1}{6}$
つまり， $q_0=0$ に注意すると，
$q_{2N+2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}\left(q_{2N}-\dfrac{1}{3}\right)$
$=\dfrac{1}{2^N}\left(q_{0}-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{3\cdot 2^N}$
となる．

以上から

$n$ が奇数のとき $q_n=0$ ，
$n$ が偶数のとき $q_n=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3\cdot 2^{n/2}}$

となる．