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2012年(平成24年)東京大学前期-数学(文科)[4]

問題：2012年(平成24年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.15記

[解答]

(1) $(s,t)$ は下に凸な放物線の下にあり，この点から放物線 $y=x^2+1$ ( $x^2$ の係数が $1$ )への $y$ 軸に平行な直線に沿う距離は $s^2-t+1$ であるから，2つの接線の接点は
$s\pm\sqrt{s^2-t+1}$ となり，接線の傾きは $2(s\pm \sqrt{s^2-t+1})$ である．

よって求める接線の方程式は
$y=2(s\pm\sqrt{s^2-t+1})(x-s)+t$
である．

(2) $C$ と $\ell_1,\ell_2$ で囲まれる部分の面積 $S$ は $S=\dfrac{1}{12}(2\sqrt{s^2-t+1})^3=\dfrac{2}{3}(\sqrt{s^2-t+1})^3$ である．

いま $t\lt 0$ から $s^2-t+1\gt s^2+1\geqq 1$ となるので $S\gt\dfrac{2}{3}$ であるから

(i) $0\lt a\leqq\dfrac{2}{3}$ のとき：
$(s,t)$ は存在しない．

(ii) $\dfrac{2}{3}\gt a$ のとき：
$t=s^2+1-\left(\dfrac{3a}{2}\right)^{2/3}$ かつ $|s|\lt \sqrt{\left(\dfrac{3a}{2}\right)^{2/3}-1}$
をみたすすべての $(s,t)$

となる．

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