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問題：2012年(平成24年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.15記

[解答]
$\rm AC$ の傾きが $-\dfrac{1}{t}$ であるから， $\rm DC$ の傾きは $\dfrac{1}{t}$ である．

よって $\rm D$ は $y=1-x$ と $y=\dfrac{1}{t}(x-t)$ の交点 $\left(\dfrac{2t}{1+t},\dfrac{1-t}{1+t}\right)$ となり，
$\triangle{\rm ACD}$ $=\dfrac{1}{2}(\mbox{横幅})\times(C\mbox{からの高さ})$ $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t}\cdot(1-t)$ $=\dfrac{t(1-t)}{1+t}$
$\dfrac{t(1-t)}{1+t}$ $=3-\left\{(1+t)+\dfrac{2}{1+t}\right\}$
であり，AM-GM 不等式から
$(1+t)+\dfrac{2}{1+t}\geqq 2\sqrt{2}$
（等号成立は $t=\sqrt{2}-1$ で $0\lt t\lt 1$ の範囲内）
だから， $\triangle{\rm ACD}$ の最大値は $3-2\sqrt{2}$