https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2011/Sougou_II

[1] この問題では，商業活動における意思決定のプロセスにおいて，最適に行動するにはどのようにすればよいかを，数学を用いて考える．

B
ある町に1本の大通りがあり，その通りに沿って $1[\mbox{km}]$ にわたって均等に人が住んでいる．そこに何軒かのコンビニエンスストア（コンビニ）が出店を考えている．住民は1日1回，いずれかのコンビニに立ち寄る．また，その際，住民は自宅に一番近いコンビニに行く．各店は自分の店に来る客の数をなるべく多くするように出店位置を決める．

以上の状況を数学的に表すために，客が区間 $[0,1]$ の上に均等に分布しており，店の出店位置は， $[0,1]$ 上の1点で表されるものとする．問題を分析しやすくするために，複数の店が同じ場所に出店することも可能であるとし，その場合には，その場所にやってくる客を各店が等分するものとする．たとえば，店が X，Y，Z の3軒あって，それぞれの出店位置を $x$ ， $y$ ， $z$ （ $0\leqq x，y，z\leqq 1$ ）とし，仮に $x=y\lt z$ が成り立っていたとすると，来客数（の割合）は，X と Y がそれぞれ
$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{x+z}{2}=\dfrac{x+z}{4}$
となる一方，Zは
$1-\dfrac{x+z}{2}$
となる．

(B-1) 店が X, Y の2軒のときを考える．それぞれの出店位置を $x$ ， $y$ とする．

(a) $x\lt y$ のとき，Y の位置は変えずに，X だけ適切に出店位置を変えれば X の来客数を増やすことができることを示せ．

(b) $x=y\neq\dfrac{1}{2}$ のとき，Y の位置は変えずに，X だけ適切に出店位置を変えれば X の来客数を増やすことができることを示せ．

(c)のような状況--すなわち，どの店に着目しても，他の店の位置は変えずに自分だけどのように出店位置を変えても自分の店の来客数を増やすことはできない状況--を「均衡」という．店が3軒以上の場合も同様である．

(B-2) 店が X, Y, Z の3軒あるときを考える．それぞれの出店位置を $x$ ， $y$ ， $z$ とする．

(a) $x\lt y\leqq z$ の場合は，均衡にならないことを示せ．

(b) $x=y=z$ の場合は，均衡にならないことを示せ．

(B-3) 店が4軒あるときを考える．このとき，均衡は存在するか．もし均衡が存在するとすれば，4軒の出店位置はどのようなものになるか．理由を添えて述べよ．

本問のテーマ

ナッシュ均衡
ホテリング（Hotelling）の立地競争モデル

2025.09.07記
$n$ 軒が均衡となるとき，それぞれの出店数が $\dfrac{1}{n}$ となることは明らかのようで明らかでない．

(B-1) $y$ を固定したとき， $x$ の出店数 $f(x|y)$ は
$f(x|y)=\begin{cases} \dfrac{1-|x+y-1|}{2} & (x\neq y) \\ \dfrac{1}{2} & (x=y) \end{cases}$
と $y\neq\dfrac{1}{2}$ のときは不連続関数となるのが難しい
（この不連続性質が(B-2)(B-3)の場合分けが増える原因となる）．

(B-3)の「均衡が存在するとすれば，4軒の出店位置はどのようなものになるか」というのは均衡を全て求めるべきかどうか曖昧である． $\dfrac{1}{4}，\dfrac{3}{4}$ に2軒ずつ出店すれば均衡であることは予測がつき，それが均衡であることを示すのは面倒ではないが，それに限ることを示すのは面倒である．[解答]では均衡が唯一であることも示したが，「一例を挙げてそれが均衡となることを示す」という予備校もあった．

[解答]
(B-1)(a) Xの来客数は $\dfrac{y+x}{2}$ ，Yの来客数は $1-\dfrac{y+x}{2}$ であるから，XをYに近づけるとXの来客数は増加する．

(b) $x=y$ のときの X の来客数は $\dfrac{1}{2}$ である．Xの位置を $x$ から $\dfrac{1}{2}$ に変えるとXの来客数は $\dfrac{1}{2}+\dfrac{|1-2y|}{4}$ に増加する．

(c) (b)によりXの位置が $x=\dfrac{1}{2}$ のときはYの来客数は $\dfrac{1}{2}-\dfrac{|1-2y|}{4}$ であるからXを動かさずにYの位置を $\dfrac{1}{2}$ から変えると来客数は減少するので増やすことはできない．Yを動かさずにXを動かす場合も同様である．

(B-2)(a) Y，Zを動かさずにXをYに近づけると(B-1)(a)と同様にXの来客数は増えるので均衡にならない．

(b)(i) $x=y=z\neq\dfrac{1}{2}$ のとき， $x$ を $\dfrac{1}{2}$ に動かすと(B-1)(b)と同様に考えてXの来客数は $\dfrac{1}{3}$ から $\dfrac{1}{2}+\dfrac{|1-2x|}{4}$ に増加するので均衡にならない．

(ii) $x=y=z=\dfrac{1}{2}$ のとき $x$ を $\dfrac{2}{5}$ に動かすとXの来客数は $\dfrac{1}{3}$ から $\dfrac{9}{20}$ に増加するので均衡にならない．

(B-3) 4軒をX，Y，Z，Wの4軒であるとし，その位置をそれぞれ $x，y，z，w$ （ $x\leqq y\leqq z\leqq w$ ）とする．

(i) $x\lt y\leqq z\leqq w$ の場合，(B-1)(a)と同様に $x$ を少し大きくするとXの来客数が増えるので均衡でない．

(ii) $x\leqq y\leqq z\lt w$ の場合，(B-1)(a)と同様に $w$ を少し小さくするとXの来客数が増えるので均衡でない．

(iii) $x=y=z=w(=k)$ の場合，(B-2)(b)と同様に $k\neq\dfrac{1}{2}$ に等くなければ $x$ を $\dfrac{1}{2}$ に動かすとXの来客数が $\dfrac{1}{4}$ から $\dfrac{1}{2}+\dfrac{|1-2k|}{4}$ に増え， $\dfrac{1}{2}$ に等しければ $x$ を $\dfrac{2}{5}$ に動かすとXの来客数は $\dfrac{1}{4}$ から $\dfrac{9}{20}$ に増加するので均衡にならない．

よって $x=y(=m)\lt z=w=(M)$ となる必要がある．このときX，Y，Z，Wの来客数はそれぞれ $\dfrac{m+M}{4}，\dfrac{m+M}{4}，\dfrac{2-m-M}{4}，\dfrac{2-m-M}{4}$ （ $m\lt M$ ）である．
ここでXの位置を小さい正数 $\delta$ を用いて $m+\delta$ に動かすとXの来客数は $\dfrac{M-m}{2}$ となり，これが $\dfrac{m+M}{4}$ より大きくなるのは $M\gt 3m$ の場合でこの場合は均衡が存在しない．
またXの位置を小さい正数 $\delta$ を用いて $m-\delta$ に動かすとXの来客数は $\dfrac{2m-\delta}{2}$ となり，これが $\dfrac{m+M}{4}$ より大きくなる $\delta$ が存在するのは $3m-M\gt 0$ の場合でこの場合は均衡が存在しない．よって均衡が存在するためには
$M=3m$ が必要である．