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問題：2011年(平成23年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.17記

[解答]

(1) 軸の場所で4通りに場合分け。最大値 $M(x,y)$ と最小値 $m(x,y)$ の差を $d(x,y)$ とおくと、

(i) $y\geqq 0$ のとき， $d(x,y)=f(1)-f(0)=x+y$

(ii) $-x\leqq y\leqq 0$ のとき， $d(x,y)=f(1)-f\Bigl(-\dfrac{y}{2x}\Bigr)$ $=x+y+\dfrac{y^2}{4x}$ $=\dfrac{(2x+y)^2}{4x}$

(iii) $-2x\leqq y\leqq -x$ のとき， $d(x,y)=f(0)-f\Bigl(-\dfrac{y}{2x}\Bigr)=\dfrac{y^2}{4x}$

(vi) $y\leqq -2x$ のとき， $d(x,y)=f(0)-f(1)=-(x+y)$

(2) $d(x,y)\leqq 1$ あれば $z$ が存在するので，

(i) $y\geqq 0$ のとき， $x+y\leqq 1$ ．

(ii) $-x\leqq y\leqq 0$ のとき， $\dfrac{(2x+y)^2}{4x}\leqq 1$ ，つまり $x>0$ から
$(y+2x)^2\leqq 4x$ ．両辺正だから $y\leqq -2x+2\sqrt{x}$ ．

(iii) $-2x\leqq y\leqq -x$ のとき， $\dfrac{y^2}{4x}\leqq 1$ ，つまり $x>0，y<0$ から
$-y\leqq 2\sqrt{x}$ となり $y\geqq -2\sqrt{x}$ ．

(vi) $y\leqq -2x$ のとき， $-(x+y)\leqq 1$ ，つまり $x+y\geqq -1$

を図示すれば良い．

(3) カバリエリの原理から $1-d(x,y)$ を積分すれば良い．
$z'=z-m(x,y)$ とすると， $xyz'$ 空間における立体の $x=k$ における断面は (1) から

(i) $0\leqq y\leqq 1-k$ のとき， $z'=1-y-k$

(ii) $-k\leqq y\leqq 0$ のとき， $z'=1-\dfrac{(y+2k)^2}{4k}$

(iii) $-2k\leqq y\leqq -k$ のとき， $z'=1-\dfrac{y^2}{4k}$

(vi) $-k-1\leqq y\leqq -2k$ のとき， $z'=1+k+y$

及び $z'=0$ で囲まれた部分となる(次図)．

この断面が， $x=-k$ について対称であることに注意すると，
断面積は
$2\Bigl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4k}\cdot \dfrac{k^3}{3}\Bigr)=1-\dfrac{k^2}{6}$
となる．よって求める体積は
$\displaystyle\int_0^1 \Bigl(1-\dfrac{k^2}{6}\Bigr)dk=\dfrac{17}{18}$

(3) は次のように重積分で処理してみた．

[大人の解答]

(3) $u=y+x$ とおくと，カバリエリの原理により， $(x,u,z)$ で体積を考えても同じになる．
このとき，

(i) $u\geqq x$ のとき， $d(x,u)=u=|u|$

(ii) $0\leqq u \leqq x$ のとき， $d(x,u)=\dfrac{(u+x)^2}{4x}=\dfrac{(|u|+x)^2}{4x}$

(iii) $-x\leqq u\leqq 0$ のとき， $d(x,u)=\dfrac{(u-x)^2}{4x}=\dfrac{(|u|+x)^2}{4x}$

(vi) $u\leqq -x$ のとき， $d(x,u)=-u=|u|$

であるから， $x$ を固定したとき， $d(x,u)$ は偶関数となる．よって， $u\geqq 0$ の部分の体積を2倍すれば良い．

よって，求める体積 $V$ は
$V=2\displaystyle \int_0^1\int_0^1 \{1-d(x,u)\} dx du$ $=2-2\displaystyle \int_0^1\int_0^1 d(x,u) dx du$
$=2$ $-2\displaystyle \int_{0\leqq x\leqq u \leqq 1} u dx du$ $-2\displaystyle \int_0^1 \int_0^{x} \dfrac{(u+x)^2}{4x} du dx$

ここで，
$\displaystyle \int_{0\leqq x\leqq u \leqq 1} u dx du$ は $(0,0,0)$ ， $(0,0,1)$ ， $(1,1,0)$ ， $(1,1,1)$ を頂点とする四面体の体積で $\dfrac{1}{3}$ であり，
$\displaystyle \int_0^1 \int_0^{x} \dfrac{(u+x)^2}{4x} du dx$ $=\displaystyle \int_{0}^1 \dfrac{7x^2}{12} dx=\dfrac{7}{36}$
であるから，
$V=2-2\cdot\dfrac{1}{3}-2\cdot\dfrac{7}{36}$ $=\dfrac{17}{18}$
となる．