https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/2011/Rika

2020.10.17記
問題文の意味をゆっくりと溶き解して考える．問題文の意味を良く考えて「平均パターン数」に着目すれば計算する必要がほとんどない（平均パターンに着目した解法はまだ見てないが）．

基本は $a$ が1増えるとパターンが1つ増え，基本は $b$ が1増えるとパターンが1つ減るということで，このことから，パターンの個数は $a，b$ についての1次式となり，真ん中が平均という考え方が活きてくるという訳だ．

[解答]

$ab$ 平面で考えると， $-q\leqq b\leqq 0\leqq a\leqq p$ という条件は，軸を含む第4象限における $(0，0)，(p，0)，(0，-q)，(p,-q)$ の長方形の周または内部の領域を表し，この長方形の格子点について考えていることになる．

$w([a，b；c])=p-q-(a+b)$ は $ab$ 平面で直線 $a+b=p+(-q)-w([a，b；c])$ を表す．

(1) 直線 $a+b=p$ をみたす長方形上の格子点は $(p,0)$ のみであり， $0\leqq c\leqq p$ をみたす $c$ は $p+1$ 通りだから $w([a，b；c])=p$ をみたす $(p，q)$ パターンの数は $p+1$ 個である．

また，直線 $a+b=-q$ をみたす長方形上の格子点は $(0,-q)$ のみであり， $-q\leqq c\leqq 0$ をみたす $c$ は $q+1$ 通りだから $w([a，b；c])=-q$ をみたす $(p，q)$ パターンの数は $q+1$ 個である．

(2) 軸を含む第4象限における $(0，0)，(p，0)，(0，-p)，(p,-p)$ の正方形の周または内部の格子点について考えることになる．

ここで，正方形内の格子点について，右に動くとパターンの数が1個増え，下に動くと1個増えるので，直線 $a+b=(一定)$ と正方形の内部の格子点のパターン数は，右下の格子点に移動する毎に2増える等差数列となる．よってパターン数の平均は

(a) 中点が格子点の場合， $(a，a-p)$ 型の格子点のパターン数 $p+1$ 個

(b) 中点が格子点でない場合， $(a-1，a-p)$ 型と $(a，a-p-1)$ 型と
の格子点のパターン数 $p$ 個と $p+2$ 個の平均の $p+1$ 個

となり常に $p+1$ 個である．つまり，直線上にある正方形の周または内部の格子点の数の $p+1$ 倍がパターンの個数となる．

(i) $s\lt 0$ のとき，直線と正方形は交わらないので0個

(ii) $0\leqq s \leqq p$ のとき，直線上にある正方形の周または内部の格子点は $s+1$ 個あるので， $(s+1)(p+1)$ 個

（文系はここまで）

(iii) $p\leqq s \leqq 2p$ のとき，直線上にある正方形の周または内部の格子点は $2p-s+1$ 個あるので， $(2p-s+1)(p+1)$ 個

(vi) $s\gt 2p$ のとき，直線と正方形は交わらないので0個

となる．

(3) 正方形内の格子点の数は $(p+1)^2$ 個あり，(2) から正方形内の格子点の平均のパターン数は $p+1$ 個だから $(p+1)^3$ 個

ちょっと大胆に解きすぎたかな？