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問題：2010年(平成22年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.10記
相対運動を考える．

[うまい解答]

$m=1,2$ のとき $\rm P=Q$ または $\rm Q=R$ となって不適であるから， $3\leqq m\leqq 10$ である．

時刻 $t$ のおける $\rm Q$ を基準とした $\rm P，R$ の偏角は $(m-1)t，-3t$ であるから， $\rm Q$ からみた $\rm P$ の相対速度は $\rm Q$ からみた $\rm R$ の相対速度の $\dfrac{m-1}{3}\in \Bigl[\dfrac{2}{3},3\Bigr]$ 倍である．

$\triangle\rm PQR$ が直角二等辺三角形になるためには，1周が4直角であることから，相対速度の比が差が4の倍数の奇数比となることが必要であり， $\dfrac{m-1}{3}\in \Bigl[\dfrac{2}{3},3\Bigr]$ で題意をみたすのは， $\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{1}，\dfrac{7}{3}$ のみである．よって $m=4,8$

(i) $m=4$ のとき，相対速度が同じであるから， $\rm R$ の $\rm Q$ を基準とした偏角（ $0$ から $6\pi$ ）が $\dfrac{\pi}{2}$ の奇数倍となれば良いので $t=\dfrac{2k+1}{6}\pi（k=0,1,2,3,4,5）$

(i) $m=8$ のとき，相対速度が $\dfrac{7}{3}$ 倍であるから， $\rm R$ の $\rm Q$ を基準とした偏角（ $0$ から $6\pi$ ）が $\dfrac{3\pi}{2}$ の奇数倍となれば良いので $t=\dfrac{2k+1}{2}\pi（k=0,1）$
となる．

よって $(m,t)=\Bigl(4,\dfrac{2k+1}{6}\pi\Bigr)（k=0,1,2,3,4,5）$ または $(m,t)=\Bigl(8,\dfrac{2k+1}{2}\pi\Bigr)（k=0,1）$

[解答]

時刻 $t$ のおける $\rm Q$ を基準とした $\rm P，R$ の偏角 $(m-1)t，-3t$ について， $(m-1)t=\dfrac{2a+1}{2}\pi$ ， $3t=\dfrac{2b+1}{2}\pi$ となる正の整数 $a,b$ （ $a,b$ の偶奇は同じ）が存在すれば良い．

$0\leqq t=\dfrac{2b+1}{6}\pi \leqq 2\pi$ により $b=0,1,2,3,4,5$ であり
$(m-1)(2b+1)=3(2a+1)（1\leqq m\leqq 10）$
となる．

$b=0$ のとき $m-1=3(2a+1)$ から $(m,a)=(4,0)$
$b=1$ のとき $m-1=2a+1$ から $(m,a)=(4,1)，(8,3)$
$b=2$ のとき $5(m-1)=3(2a+1)$ から $(m,a)=(4,2)$
$b=3$ のとき $7(m-1)=3(2a+1)$ から $(m,a)=(4,3)$
$b=4$ のとき $3(m-1)=2a+1$ から $(m,a)=(4,4)，(8,10)$
$b=5$ のとき $11(m-1)=3(2a+1)$ から $(m,a)=(4,5)$
の8通りが題意をみたす．