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問題：2010年(平成22年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.09記

[解答]

(1) 一周させてできる体積の $\dfrac{1}{4}$ と直方体の体積の和の $\dfrac{\pi(a^2+c^2)b}{4}+abc$

(2) $b$ を固定して $a+c$ が一定のとき $V=\dfrac{\pi(a^2+c^2)b}{4}+abc$ $=\dfrac{\pi\{(a+c)^2-2ac\}b}{4}+abc$ $=\dfrac{\pi(a+c)^2b}{4}-\dfrac{(\pi -2)abc}{2}$ $=\dfrac{\pi(1-b)^2b}{4}-\dfrac{(\pi -2)b(ac)}{2}$ であり， $0\lt ac\leqq \dfrac{(1-b)^2}{4}$ であるから，固定された $b$ に対して $\dfrac{\pi(1-b)^2b}{4}-\dfrac{(\pi -2)b(1-b)^2}{8}$ $=\dfrac{\pi+2}{8}(1-b)^2b$ $\leqq V\lt \dfrac{\pi(1-b)^2b}{4}$ が成立する． $0\lt b\lt 1$ で $0\lt (1-b)^2b \leqq \dfrac{4}{27}$ であるから， $0\lt V\lt\dfrac{4}{27}$