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2010年(平成22年)東京大学前期-数学(文科)[2]

問題：2010年(平成22年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.16記

[解答]

$f(x+1)=x^2+(a+2)x+a+b+1$ ， $f'(x)=2x+a$ 　を用いると
$x^2+(a+2)x+a+b+1=c\displaystyle\int_0^1 (3x^2+4xt)(2t+a) dt$
$=c\displaystyle\int_0^1 \{8xt^2+(6x^2+4ax)t+3ax^2\} dt$
$=c\left(\dfrac{8x}{3}+3x^2+2ax+3ax^2\right)$
$=3(a+1)cx^2+\dfrac{2(3a+4)c}{3}x$
が恒等式となるので，
$1=3(a+1)c$ ， $a+2=\dfrac{2(3a+4)c}{3}$ ， $a+b+1=0$
が成立する．

1番目の式から $c\neq 0$ である．
前の2式と $c\neq 0$ から $3(a+1)(a+2)=\dfrac{2(3a+4)}{3}$ ，
つまり $(3a+2)(3a+5)=0$ となり， $a=-\dfrac{2}{3},-\dfrac{5}{3}$ が得られる．

よって $(a,b,c)=\left(-\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{3},1\right),\left(-\dfrac{5}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{2}\right)$ となる．

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