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問題：2010年(平成22年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.03.15記

[解答]

点の偏角を $0^{\circ}$ 以上 $360^{\circ}$ 未満とする．

$\rm B$ の偏角は $\theta$ である．

$0^{\circ}\lt\theta\lt120^{\circ}$ により， $\rm C$ の偏角は $\theta+120^{\circ}$ または $\theta+240^{\circ}$ であるが，
$\triangle\rm ABC$ が $\rm O$ を含むとき， $0^{\circ}\lt\theta\lt120^{\circ}$ により $\rm C$ の偏角は $\theta+180^{\circ}$ より大きくないといけない．

よって $\rm C$ の偏角は $\theta+240^{\circ}$ である．

(1) $\rm B,C$ の $y$ 座標を比較して $2\sin\theta+\sin(\theta+240^{\circ})=0$ が成立する．加法定理から
$2\sin\theta-\dfrac{1}{2}\sin\theta-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta=0$
となるので $\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となり， $0^{\circ}\lt\theta\lt120^{\circ}$ から $\theta=30^{\circ}$ となる．

(2) $\triangle{\rm OAB}+\triangle{\rm OAC}$
$=\dfrac{3}{2}\{2\sin\theta-\sin(\theta+240^{\circ})\}$
$=\dfrac{3}{2}\left\{\dfrac{5}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right\}$
$=\dfrac{3}{4}(\sqrt{3}\cos\theta+5\sin\theta)$
となる．これは
$\begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}$ $\parallel\begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 5 \end{pmatrix}$
のとき最大となる（最大値を与える $\theta$ は第一象限の角度なので
$\theta$ の変域内である）．

このとき， $\sin\theta=\dfrac{5}{2\sqrt{7}}$ であり，最大値は
$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$ とから $\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$
となる．

[うまい解答]

余弦定理により ${\rm BC}=\sqrt{1+4-4\cdot\dfrac{1}{2}}=\sqrt{7}$ である

(1) $\rm BC$ の中点を $\rm M$ とすると，中線定理から $\rm OM$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ であるから， ${\rm OC}^2+{\rm OM}^2=\dfrac{7}{4}={\rm MC}^2$ 　が成立し， $\angle\rm COM$ $=90^{\circ}$ となる．よって $\rm B$ の偏角は $\angle\rm MOB$ $=30^{\circ}$ となる．

(2) $\triangle{\rm OAB}+\triangle{\rm OAC}$
$=\dfrac{3}{2}\cdot({\rm B}\mbox{と}{\rm C}\mbox{の}y\mbox{座標の差})$
であるから，考える面積の最大値は $\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ であり， ${\rm O}$ から $\rm BC$ に下した垂線の足を $\rm H$ とすると
$\triangle\rm OBC$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\cdot{\rm OH}$
から ${\rm OH}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ となるので $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$ となり，よって $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{175}}{14}=\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$ となる．