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問題：2009年(平成21年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.07記

[解答]

(1) $\overrightarrow{{\rm P}_1(t){\rm P_2}(t)}$ $=\overrightarrow{{\rm P}_1(t){\rm A_1}}$ $+\overrightarrow{{\rm A}_1{\rm A_2}}$ $+\overrightarrow{{\rm A}_2{\rm P_2}(t)}$ $=-t\vec{e_1}+\vec{a_1}+t\vec{e_2}$ $=\vec{a_1}-t(\vec{e_1}-\vec{e_2})$
であるから，ある時刻 $t$ で $d({\rm P}_1(t),{\rm P}_2(t))\leqq 1$ が成立したとき， $t(\vec{e_1}-\vec{e_2})$ の終点は， $\vec{a_1}$ の終点を中心とする半径1の円の周または内部に位置する．この円への接線と $\vec{a_1}$ のなす角度の正弦は $\dfrac{1}{|\vec{a_1}|}=\dfrac{1}{1000}$ だから， $|\sin\theta|\leqq\dfrac{1}{1000}$ が成り立つ．

(2) $\vec{a_1}$ 向きから反時計周りに測った $\vec{e_1}$ ， $\vec{e_2}$ 向きの角度は $\theta_1，\theta_2+\dfrac{2\pi}{3}$ だから，
$\vec{e_1}+\vec{e_2}$ 向きの角度は $\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}+\dfrac{\pi}{3}$ となり，よって
$\vec{e_1}-\vec{e_2}$ 向きの角度はそれより時計回りに $\dfrac{\pi}{2}$ ずれているので $\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}-\dfrac{\pi}{6}$ となる．

よって， $-\alpha\leqq \dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}-\dfrac{\pi}{6}\leqq \alpha$ となり，
$\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\leqq \theta_1+\theta_2\leqq \dfrac{\pi}{3}+2\alpha$

(3) (2) と同様にして
$\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\leqq \theta_2+\theta_3\leqq \dfrac{\pi}{3}+2\alpha$ ， $\dfrac{\pi}{3}-2\alpha\leqq \theta_3+\theta_1\leqq \dfrac{\pi}{3}+2\alpha$
が成立するので， $\dfrac{\pi}{2}-3\alpha\leqq \theta_1+\theta_2+\theta_3\leqq \dfrac{\pi}{2}+3\alpha$ となり， $\dfrac{\pi}{6}-5\alpha\leqq \theta_1\leqq \dfrac{\pi}{6}+5\alpha$ が成立する．

時刻 $T$ において， ${\rm A}_1{\rm P_1}(T)=\dfrac{1000}{\sqrt{3}}={\rm A}_1{\rm O}$ であり， $\angle{\rm OA}_1{\rm P}_1(T)=\Bigl|\theta_1-\dfrac{\pi}{3}\Bigl|\leqq 5\alpha$ だから， ${\rm OP}_1(T)\leqq2\cdot \dfrac{1000}{\sqrt{3}}\sin\dfrac{5\alpha}{2}$ となる．

$y=\sin x$ のグラフは $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$ で上に凸だから $\dfrac{\sin x}{x}$ はこの範囲で減少するので， $\dfrac{\sin(5\alpha/2)}{5\alpha/2}\lt \dfrac{\sin\alpha}{\alpha}$ だから， ${\rm OP}_1(T)\leqq2\cdot \dfrac{1000}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{5}{2} \sin\alpha$ $\leqq 2\cdot \dfrac{1000}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{1}{1000}$ $=\dfrac{5}{\sqrt{3}}$ $=\sqrt{\dfrac{25}{3}}$ $\lt3$

${\rm OP}_2(T)$ ， ${\rm OP}_3(T)$ についても同様である．