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問題：2009年(平成21年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.07記
この型をみたら，対数をとろうと思うのが普通．
$0.9999=0.99\times 1.01$ が見抜けたら勝ち．

[解答]

(1) $0\lt 1-x\lt 1+x$ より両辺の対数をとると $\Bigl(1-\dfrac{1}{x}\Bigr)\log (1-x) \lt \dfrac{1}{x}\log (1+x)$ ，つまり
$\dfrac{1}{x}\log (1+x)-\Bigl(1-\dfrac{1}{x}\Bigr)\log (1-x) \gt 0$ を示せば良く， $f(x)=\log (1+x)-(x-1)\log(1-x)$ とおくと， $\dfrac{f(x)}{x}\gt 0$ を示せば良い．

平均値の定理により， $\dfrac{f(x)}{x}=f'(c)$ なる $c（0\lt c\lt x）$ が存在するので，結局， $f'(x)>0（-1\lt x\lt 1，x\neq 0）$ を示せば良い．
$f'(x)=-\log(1-x)-\dfrac{x}{1+x}$
であり，一般に $\log u\leqq u-1$ であるから $\log (1-x)\lt -x（-1\lt x\lt 1，x\neq 0）$ となるので，
$f'(x)\gt x-\dfrac{x}{1+x}=\dfrac{x^2}{1+x}\gt 0$
が成立し，題意は示された．

(2) $x=\pm 0.01$ を代入すると
$0.99^{-99}\lt 1.01^{100}$ ， $1.01^{101}\lt 0.99^{-100}$
が得られるので，最初の不等式の両辺に $0.99^{100}$ ，次の不等式の両辺に $0.99^{101}$ を乗ずると， $0.99\times 1.01=0.9999$ により $0.99\lt 0.9999^{100}$ ， $0.9999^{101}\lt 0.99$ が得られる．

普通は、 $f'(x)$ が単調増加であることを示すのに2階微分を用いるが， $\log (1-x)\leqq -x$ という接線での評価が微分の役目を果たしている．