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問題：2009年(平成21年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

多項定理(2021.02.07)

2021.02.07記

多項定理

[解答]

(1) 操作(A)で L に4色の玉が入っている確率を考える．

特定の色が2回出る場合の数は $\dfrac{5!}{2!1!1!1!}=60$ 通りだから，題意をみたす場合の数は $4\times 60=240$ ．よって求める確率は $\dfrac{60\times 4}{4^5}=\dfrac{15}{64}$

操作(B)で R に4色の玉が入っている確率も同じく $\dfrac{15}{64}$ であるから，求める確率は $P_1=\dfrac{15^2}{64^2}=\dfrac{225}{4096}$

(2) 操作(A)で L に4色の玉が入っている確率と同じく $P_2=\dfrac{15}{64}$

(3) 4色とも2回以上出れば良いので、それぞれの色が
$4,2,2,2$ 回出る，または $3,3,2,2$ 回出れば良い．

よって，場合の数は
$4\times \dfrac{10!}{4!2!2!2!}＋\dfrac{4\times 3}{2}\times\dfrac{10!}{3!3!2!2!}$
$=\dfrac{4\times 10!}{2!2!}\Bigl(\dfrac{1}{4!2!}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{3!3!}\Bigr)$
$=\dfrac{10!}{16}$ 通りある．

よって， $\dfrac{P_3}{P_1}$ $=\dfrac{10!}{16\times 240\times 240}=\dfrac{63}{16}$