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問題：2009年(平成21年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 自然数 $m\geqq 2$ に対し， $m-1$ 個の二項係数 ${}_{m}\mbox{C}_{1}$ ， ${}_{m}\mbox{C}_{2}$ ， $\cdots$ ， ${}_{m}\mbox{C}_{m-1}$ を考え，これらすべての最大公約数を $d_m$ とする．すなわち $d_m$ はこれらすべてを割り切る最大の自然数である．

(1) $m$ が素数ならば， $d_m=m$ であることを示せ．

(2) すべての自然数 $k$ に対し， $k^m-k$ が $d_m$ で割り切れることを， $k$ に関する数学的帰納法によって示せ．

(3) $m$ が偶数のとき $d_m$ は $1$ または $2$ であることを示せ．

本問のテーマ

Kummer の定理

2019.04.15記
Kummer の定理（二項係数が素数 p で割り切れない条件 - 球面倶楽部零八式 mark II）を利用する．

[大人の解答]

(1) $m$ が素数のとき、 ${}_{m}\mbox{C}_{r}$ が $m$ で割り切れない条件は $m$ 進数の足し算 $r+(m-r)=10_{(m)}$ で繰り上がりが起きないことであるが、 $r=1,2,...,m-1$ のとき必ず繰り上がりが起きているので、これらはすべて $m$ の倍数。 ${}_{m}\mbox{C}_{1}=m$ であるから、最大公約数は $d_m=m$ である。

(2) $\{(k+1)^m-(k+1)\}-\{k^m-k\}=\displaystyle\sum_{r=1}^{m-1}{}_{m}\mbox{C}_r$ は $d_m$ の倍数であり， $1^m-1=0$ は $d_m$ の倍数であるから帰納的に $k^m-k$ は $d_m$ の倍数。

(3) すべての $k$ について(2)が成立するので、うまい $k$ の値を探すと $k=d_m-1$ とすれば良いことがわかる。このとき $(d_m-1)^m-(d_m-1)$ は $d_m$ の倍数である。ここで $(d_m-1)^m-(d_m-1)$ を $d_m$ の多項式とみたときの定数項は $(-1)^m+1=2（mは偶数）$ であるから、 $2$ は $d_m$ の倍数である。よって $d_m$ は $2$ の約数となり $1$ または $2$ である。

[解答]

(3) $k=m-1$ としても良い。このとき、 $(m-1)^m-(m-1)=m\times A+2（Aは整数）$ とかけ、これは $d_m$ の倍数である。また ${}_{m}\mbox{C}_{1}=m$ も $d_m$ の倍数である。よってユークリッドの互除法から $2$ も $d_m$ の倍数である。よって $d_m$ は $2$ の約数となり $1$ または $2$ である。

駿台の森茂樹先生による解答

[うまい解答]

(3) $0=(1-1)^m=2+\displaystyle\sum_{r=1}^{m-1}(-1)^r {}_{m}\mbox{C}_r$ から $\displaystyle\sum_{r=1}^{m-1}(-1)^{r-1} {}_{m}\mbox{C}_r=2$ が成立し、左辺が $d_m$ の倍数であるから、右辺 $2$ も $d_m$ の倍数である．

なお，1999年の東大の問題から、 $m$ が偶数のとき $m=2^k$ のときは $d_m=2$ であり、それ以外の偶数のときには $d_m=2$ であることがわかる。