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問題：2009年(平成21年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

$\displaystyle\int|f'(x)|dx$ は道程

2021.02.08記

$\displaystyle\int|f'(x)|dx$ は道程

[うまい解答](2022.03.16にコメントを解答に修正）

時刻 $0$ で位置 $0$ ，時刻 $2$ で位置 $2$ にいるとき，この時間内のみちのりが $S$ である．

(1) $f(x)=ax(x-2)+x$ $=ax^2-(2a-1)x$ $=a\left(x-\dfrac{2a-1}{2a}\right)^2-\dfrac{(2a-1)^2}{4a}$
であり， $f'(x)=2ax-(2a-1)$ は単調に変化する．

(i) $f'(0)\lt 0$ ，つまり $a\gt\dfrac{1}{2}$ のとき：

$f(x)$ は減少した後に極小かつ最小値 $m=-\dfrac{(2a-1)^2}{4a}$ をとり，増加に転じて $f(2)(\gt f(0))$ となるので，
$S=(f(0)-m)+(f(2)-m)=2+\dfrac{(2a-1)^2}{2a}=\dfrac{4a^2+1}{2a}$

(ii) $f'(0)\geqq 0$ かつ $f'(2)\lt 0$ ，つまり $a\lt-\dfrac{1}{2}$ のとき：

$f(x)$ は増加した後に極小かつ最大値 $M=-\dfrac{(2a-1)^2}{4a}$ をとり，減少に転じて $f(2)$ となるので，
$S=(M-f(0))+(M-f(2))=-\dfrac{(2a-1)^2}{2a}-2=-\dfrac{4a^2+1}{2a}$

(iii) それ以外の $|a|\leqq\dfrac{1}{2}$ のとき：

$f(x)$ は単調に増加するので $S=2$

(2) 時刻 $0$ で位置 $0$ ，時刻 $2$ で位置 $2$ にいるとき，この時間内のみちのり $S$ の最小値を求めよ，という問題だから，答は単調に移動するときの $2$ 以上であるが，(1)(iii)より $S=2$ となり得るので，求める最小値は $2$ となる．

(1) の誘導がない場合は，例えば $f(x)=x$ （ $a=0$ ）のとき， $S=\displaystyle\int_0^2 1 dx =2$ となるという例を挙げれば良い．

[解答]

(1) $f(x)=ax(x-2)+x$ であるから， $f'(x)=2ax-2a+1$ であり $f'(x)$ は単調な関数である．

(i) $f'(0)f'(2)\geqq 0$ ，つまり $-\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq \dfrac{1}{2}$ のとき， $f'(x)$ の符号は $0\leqq x\leqq 2$ で非負であるから
$S=\displaystyle\int_0^2 f'(x) dx =f(2)-f(0)=2$

(ii) $f'(0)\lt 0，f'(2)\gt 0$ ，つまり $\dfrac{1}{2} \lt a$ のとき， $f'(x)$ の符号は負から正に変化し， $x=k=1-\dfrac{1}{2a}$ で $0$ となるので，
$S=\displaystyle\int_0^k \{-f'(x)\} dx+\displaystyle\int_k^2 f'(x) dx$ $=f(0)+f(2)-2f(k)$ $=2-2\Bigl\{ a\Bigl(1-\dfrac{1}{2a}\Bigr)\Bigl(-1-\dfrac{1}{2a}\Bigr)+1-\dfrac{1}{2a}$ $=2+2a\Bigl(1-\dfrac{1}{4a^2}\Bigr)-2+\dfrac{1}{a}$ $=2a+\dfrac{1}{2a}$

(iii) $f'(0)\gt 0，f'(2)=\lt 0$ ，つまり $a\lt -\dfrac{1}{2}$ のとき， $f'(x)$ の符号は正から負に変化し， $x=k=1-\dfrac{1}{2a}$ で $0$ となるので，
$S=\displaystyle\int_0^k f'(x) dx-\displaystyle\int_k^2 f'(x) dx$ $=2f(k)-f(0)-f(2)$ $=-2a-\dfrac{1}{2a}$

以上から
$S=\left\{\begin{array}{ll} 2|a|+\dfrac{1}{2|a|} & (\dfrac{1}{2}\gt |a|)\\ 2 & (|a|\leqq \dfrac{1}{2})\end{array}\right.$

(2) $|a|\gt\dfrac{1}{2}$ のとき，AM-GM不等式より $2|a|+\dfrac{1}{2|a|}\gt 2$ （等号は成立しない）だから， $S$ の最小値は $|a|\leqq \dfrac{1}{2}$ のときの $2$