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問題：2009年(平成21年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 自然数 $m\geqq 2$ に対し， $m-1$ 個の二項係数 ${}_{m}\mbox{C}_{1}$ ， ${}_{m}\mbox{C}_{2}$ ， $\cdots$ ， ${}_{m}\mbox{C}_{m-1}$ を考え，これらすべての最大公約数を $d_m$ とする．すなわち $d_m$ はこれらすべてを割り切る最大の自然数である．

(1) $m$ が素数ならば， $d_m=m$ であることを示せ．

(2) すべての自然数 $k$ に対し， $k^m-k$ が $d_m$ で割り切れることを， $k$ に関する数学的帰納法によって示せ．

2009年(平成21年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の(2) まで