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2009年(平成21年)東京大学前期-数学(文科)[1]

問題：2009年(平成21年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

楕円は2点からの距離の和が一定(2021.02.08)

2021.02.08記

[解答]

${\rm O}(0,0)$ ， ${\rm A}(1,0)$ ， ${\rm P}(a,b)$ とおく．

(2) ${\rm AP}=1+t$ ， ${\rm OP}=2-t$ だから， $\rm AP+OP=3$ となり， $\rm P$ は $\rm O，A$ を焦点とする楕円上にあり， $\dfrac{\Bigl(a-\dfrac{1}{2}\Bigr)^2}{9/4}+\dfrac{b^2}{2}=1（b\gt 0）$ となる．よって $b$ の最大値は短軸の長さ $\sqrt{2}$

となるが，(1) の誘導を解かなければならないので却って遠回りになっている．

[解答]

${\rm O}(0,0)$ ， ${\rm A}(1,0)$ ， ${\rm P}(a,b)$ とおく．

(1) ${\rm AP}=1+t$ ， ${\rm OP}=2-t$ だから， $a^2+b^2=(2-t)^2$ ， $(a-1)^2+b^2=(t+1)^2$ となり， $b\gt 0$ から $a=-3t+2$ ， $b=\sqrt{-8t^2+8t}$ となる． $b\gt 0$ なる $t$ の範囲は $0\lt t\lt 1$ である．

(2) $b=\sqrt{-8t^2+8t}$ の $0\lt t\lt 1$ における最大値は $t=\dfrac{1}{2}$ のときの $\sqrt{2}$

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