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問題：2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.05記

1974年理科[2]は $L\geqq 1$ の場合のみの出題だった．

[解答]

(1) ${\rm P}(p,p^2)$ ， ${\rm Q}(q,q^2)$ とおくと， $\rm PQ$ の中点 $\rm M$ は ${\rm M}\Bigl(\dfrac{p+q}{2},\dfrac{p^2+q^2}{2}\Bigr)$ となる．

${\rm PQ}$ の傾きは $m=p+q$ であるから， $h=\dfrac{p^2+q^2}{2}=\dfrac{m^2}{2}-pq$ であり， $L^2=(1+m^2)(q-p)^2$ $=(1+m^2)(m^2-4pq)$ $=(1+m^2)(4h-m^2)$

よって， $h=\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{L^2}{4(m^2+1)}$

(2) $M=4(m^2+1)\geqq 4$ とおくと，
$h=\dfrac{1}{16}\Bigl(M+\dfrac{16L^2}{M}\Bigr)-\dfrac{1}{4}$ であるから， $y=x+\dfrac{k}{x}$ のグラフより，

(i) $(0\lt) L\lt 1$ のとき，極小値が変域外なので端点 $M=4$ で最小値 $\dfrac{L^2}{4}$ をとる．

(ii) $1\leqq L$ のとき，極小値が変域内なので最小値は $M=4L$ で最小値 $\dfrac{2L-1}{4}$ をとる．

$L$ を固定したときの $\rm M$ の軌跡は， $X=\dfrac{m}{2}$ とおくと， ${\rm M}\Bigl(X,X^2+\dfrac{L^2}{4(4X^2+1)}\Bigr)$ となる．

$X\approx 0$ のとき，
$Y=X^2+\dfrac{L^2}{4(4X^2+1)}$ $\approx X^2+\dfrac{L^2}{4}(1-4X^2)$ $=\dfrac{L^2}{4}+(1-L^2)X^2$
となることからも， $L=1$ を境に状況が変わることがわかるだろう．