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問題：2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

一葉双曲面(線織面)
ケプラーの樽の公式

2021.02.05記
ある直線のまわりに，ねじれの位置にある直線を回転させると一葉双曲面ができる．
この断面積は2次関数になるので，
ケプラーの樽公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
から体積を求める．

なお，直線を動かしてできる面のことを線織面というので，一葉双曲面は線織面である．

[大人の解答]
(1) 正6角形ができる(図略)

(2) 体積を求める立体は一葉双曲面と2平面で囲まれた部分であるから断面積は2次関数となる．両端での断面積が $\dfrac{\pi}{3}$ （回転軸から正三角形の頂点までの距離は $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ ），中央での断面積が $\dfrac{\pi}{4}$ （回転軸から側面の正三角形の辺の中点までの距離は $\dfrac{1}{2}$ ）で幅（立体の高さ）が $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ だから，求める体積は
$\dfrac{1}{6}\Bigl\{\dfrac{\pi}{3}+4\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\Bigr\}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ $=\dfrac{5\sqrt{6}\pi}{54}$