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問題：2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.07記

[解答]

(1) $n=1$ のとき，ともに $0$ となるので成立

$n$ で成立すると仮定すると， $\dfrac{n(n-1)}{2}，\dfrac{(n+1)n}{2}$ が整数であることに注意して， $\mbox{mod}\, p^3$ で
$a_{n+1}-\dfrac{(n+1)n}{2}p^2-(n+1)p$
$=a_n+pb_n-\dfrac{(n+1)n}{2}p^2-(n+1)p$ $\equiv \dfrac{n(n-1)}{2}p^2+np+p\{n(n-1)p^2+np+1\}$ $-\dfrac{(n+1)n}{2}p^2-(n+1)p$
$\equiv 0$ ，
$b_{n+1}-(n+1)np^2-(n+1)p-1$
$=pa_n+(p+1)b_n-(n+1)np^2-(n+1)p-1$
$\equiv \dfrac{n(n-1)}{2}p^3$ $+np^2$ $+(p+1)n(n-1)p^2$ $+np(p+1)$ $+p+1$ $-(n+1)np^2$ $-(n+1)p-1$
$\equiv 0$
より， $n+1$ でも成立する．よって帰納的に任意の正の整数に対して題意は成立する．

(2) $p$ が 3以上の奇数のとき， $\dfrac{p(p-1)}{2}=p\times\dfrac{p-1}{2}$ は $p$ の倍数であるから， $\mbox{mod}\, p^3$ で $a_p\equiv \dfrac{p(p-1)}{2}p^2+p^2$ $\equiv p^2$ であるから，題意は証明された．