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問題：2008年(平成20年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

2021.02.06記

素直にやっても大したことないが，無理矢理
ケプラーの樽公式 - 球面倶楽部零八式 mark II
を使ってみよう．

[解答]

$\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)dx$ $=\dfrac{1-(-1)}{6}\{f(-1)+4f(0)+f(1)\}=1$ であるから $\dfrac{1}{3}(2+6\alpha\beta)=1$ となり $f(0)=\alpha\beta=\dfrac{1}{6}$ （ $0\leqq\alpha\leqq\beta$ より $0\lt \alpha\leqq\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ ）である．

また， $f\Bigl(\dfrac{\alpha}{2}\Bigr)=-\dfrac{\alpha}{2}\times\dfrac{\alpha-2\beta}{2}$ $=-\dfrac{\alpha^2}{4}+\dfrac{1}{12}$ ， $f(\alpha)=0$ だから， $S=\dfrac{1}{6}\Bigl\{f(0)+4f\Bigl(\dfrac{\alpha}{2}\Bigr)+f(\alpha)\}\times \alpha$ $=\dfrac{1}{6}\alpha\Bigl(\dfrac{1}{2}-\alpha^2\Bigr)$
である．よって $S$ の $0\lt \alpha\leqq\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ における最大値を求めれば良く，
$\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ のときの $S=\dfrac{1}{18\sqrt{6}}$