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問題：2007年(平成19年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.02記

(2) $\displaystyle\int_{a-x}^{a+x}\dfrac{1}{t} dt=\log\dfrac{a+x}{a-x}=\log\dfrac{1+\dfrac{x}{a}}{1-\dfrac{x}{a}}$ であるから，
$\dfrac{x}{a}=u$ とおくと (1) は $2u\lt \log\dfrac{1+u}{1-u}\lt \dfrac{2u}{1-u^2}$ となる．よって $u$ が0に近いほど評価の幅は狭くなり，うまく評価できるには $1-u^2\approx \dfrac{0.68}{0.71}$ として $u\approx \sqrt{\dfrac{3}{71}}\approx 0.2$ だから， $0.4\lt \log 1.5 \lt \dfrac{1}{24}$ に近い形で評価したいと思うと $0.34\lt \log \sqrt{2} \lt 0.355$ を目標としたくなるだろう．

[解答]

(1) $s=\dfrac{1}{t}$ において， $t=x$ における接線と $t=x-a，x+a$ ， $x$ 軸でできる台形の面積，
$s=\dfrac{1}{t}$ と $t=x-a，x+a$ ， $x$ 軸でできる台形の面積，
$\Bigl(a-x,\dfrac{1}{a-x}\Bigr)$ ， $\Bigl(a+x,\dfrac{1}{a+x}\Bigr)$ を結ぶ直線と $t=x-a，x+a$ ， $x$ 軸でできる台形の面積の大小比較から
$\dfrac{2x}{a}\lt\displaystyle\int_{a-x}^{a+x}\dfrac{1}{t} dt\lt x\Bigl(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{1}{a-x}\Bigr)$
となる．

(2) $\displaystyle\int_{a-x}^{a+x}\dfrac{1}{t} dt=\log\dfrac{a+x}{a-x}=\log\dfrac{1+\dfrac{x}{a}}{1-\dfrac{x}{a}}$ であるから，
$\dfrac{x}{a}=u$ とおくと (1) は
$2u\lt \log\dfrac{1+u}{1-u}\lt \dfrac{2u}{1-u^2}$
となる． $\dfrac{1+u}{1-u}=\sqrt{2}$ とおくと $u=3-2\sqrt{2}$ だから，(1) より
$6-4\sqrt{2}\lt \dfrac{1}{2} \log 2\lt \dfrac{6-4\sqrt{2}}{12\sqrt{2}-16}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ，
つまり
$12-8\sqrt{2}\lt \log 2\lt \dfrac{6-4\sqrt{2}}{12\sqrt{2}-16}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
が成立する，ここで $12-8\sqrt{2}\gt 12-8\times 1.415 =0.68$ ， $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\lt \dfrac{1.42}{2}=0.71$ より
$0.68\lt \log 2\lt 0.71$ である．

評価の値がピッタリであることから，この評価が想定解であることが予想できる．

なお， $\log 2=\log\Bigl(\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\Bigr)=\log\dfrac{3}{2}+\log\dfrac{4}{3}$ の利用を考えて，
$u=\dfrac{1}{5}$ とおいた $\dfrac{2}{5}\lt\log\dfrac{3}{2}\lt \dfrac{5}{12}$ ，
$u=\dfrac{1}{7}$ とおいた $\dfrac{2}{7}\lt\log\dfrac{4}{3}\lt \dfrac{7}{24}$
から $\dfrac{24}{35}\lt \log 2 \lt \dfrac{17}{24}$ と評価することができる．